Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33937 / 32913
↖ ↑ ↗
← S  0.796483°
E  6.421509°		 ← 610.79 m → S  0.796483°
E  6.427002°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.801976°
E  6.421509°		 ← 610.79 m →
373 064 m²		 S  0.801976°
E  6.427002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517845153808594 y=0.502220153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517845153808594 × 216)
    floor (0.517845153808594 × 65536)
    floor (33937.5)     		tx = 33937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502220153808594 × 216)
    floor (0.502220153808594 × 65536)
    floor (32913.5)     		ty = 32913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33937 / 32913 ti = "16/33937/32913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33937/32913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33937 ÷ 216
    33937 ÷ 65536     		x = 0.517837524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32913 ÷ 216
    32913 ÷ 65536     		y = 0.502212524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517837524414062 × 2 - 1) × π
    0.035675048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11207647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502212524414062 × 2 - 1) × π
    -0.004425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0139017008898163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11207647} λ = 0.11207647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0139017008898163))-π/2
    2×atan(0.986194481538363)-π/2
    2×0.778447536825475-π/2
    1.55689507365095-1.57079632675     		φ = -0.01390125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11207647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.421509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01390125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.796483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33937 KachelY 32913 0.11207647 -0.01390125 6.421509 -0.796483
    Oben rechts KachelX + 1 33938 KachelY 32913 0.11217235 -0.01390125 6.427002 -0.796483
    Unten links KachelX 33937 KachelY + 1 32914 0.11207647 -0.01399712 6.421509 -0.801976
    Unten rechts KachelX + 1 33938 KachelY + 1 32914 0.11217235 -0.01399712 6.427002 -0.801976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01390125--0.01399712) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01390125--0.01399712) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11207647-0.11217235) × cos(-0.01390125) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999903379180189 × 6371000     		do = 610.792459029261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11207647-0.11217235) × cos(-0.01399712) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999902041915192 × 6371000     		du = 610.791642158959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01390125)-sin(-0.01399712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999903379180189-0.999902041915192)×R²
    abs(0.11217235-0.11207647)×1.33726499706999e-06×R²
    9.58800000000065e-05×1.33726499706999e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.33726499706999e-06×40589641000000     		ar = 373064.314801841m²