Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33930 / 33917
↖ ↑ ↗
← S  6.298919°
E  6.383056°		 ← 607.16 m → S  6.298919°
E  6.388550°		 →
↑
607.16 m
↓
↑
607.16 m
↓
S  6.304379°
E  6.383056°		 ← 607.16 m →
368 641 m²		 S  6.304379°
E  6.388550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517738342285156 y=0.517539978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517738342285156 × 216)
    floor (0.517738342285156 × 65536)
    floor (33930.5)     		tx = 33930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517539978027344 × 216)
    floor (0.517539978027344 × 65536)
    floor (33917.5)     		ty = 33917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33930 / 33917 ti = "16/33930/33917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33930/33917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33930 ÷ 216
    33930 ÷ 65536     		x = 0.517730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33917 ÷ 216
    33917 ÷ 65536     		y = 0.517532348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517730712890625 × 2 - 1) × π
    0.03546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11140535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517532348632812 × 2 - 1) × π
    -0.035064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.110158995326889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11140535} λ = 0.11140535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.110158995326889))-π/2
    2×atan(0.895691713177874)-π/2
    2×0.730429727289001-π/2
    1.460859454578-1.57079632675     		φ = -0.10993687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11140535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.383056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10993687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.298919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33930 KachelY 33917 0.11140535 -0.10993687 6.383056 -6.298919
    Oben rechts KachelX + 1 33931 KachelY 33917 0.11150123 -0.10993687 6.388550 -6.298919
    Unten links KachelX 33930 KachelY + 1 33918 0.11140535 -0.11003217 6.383056 -6.304379
    Unten rechts KachelX + 1 33931 KachelY + 1 33918 0.11150123 -0.11003217 6.388550 -6.304379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10993687--0.11003217) × R
    9.52999999999926e-05 × 6371000     		dl = 607.156299999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10993687--0.11003217) × R
    9.52999999999926e-05 × 6371000     		dr = 607.156299999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11140535-0.11150123) × cos(-0.10993687) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.993963026280169 × 6371000     		do = 607.163785668562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11140535-0.11150123) × cos(-0.11003217) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.993952565874432 × 6371000     		du = 607.157395914236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10993687)-sin(-0.11003217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993963026280169-0.993952565874432)×R²
    abs(0.11150123-0.11140535)×1.04604057368229e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.04604057368229e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.04604057368229e-05×40589641000000     		ar = 368641.378089702m²