Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33923 / 33923
↖ ↑ ↗
← S  6.331678°
E  6.344605°		 ← 607.06 m → S  6.331678°
E  6.350098°		 →
↑
607.09 m
↓
↑
607.09 m
↓
S  6.337137°
E  6.344605°		 ← 607.06 m →
368 541 m²		 S  6.337137°
E  6.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517631530761719 y=0.517631530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517631530761719 × 216)
    floor (0.517631530761719 × 65536)
    floor (33923.5)     		tx = 33923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517631530761719 × 216)
    floor (0.517631530761719 × 65536)
    floor (33923.5)     		ty = 33923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33923 / 33923 ti = "16/33923/33923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33923/33923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33923 ÷ 216
    33923 ÷ 65536     		x = 0.517623901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33923 ÷ 216
    33923 ÷ 65536     		y = 0.517623901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517623901367188 × 2 - 1) × π
    0.035247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11073424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517623901367188 × 2 - 1) × π
    -0.035247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.11073423812233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11073424} λ = 0.11073424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.11073423812233))-π/2
    2×atan(0.895176621138629)-π/2
    2×0.730143851291099-π/2
    1.4602877025822-1.57079632675     		φ = -0.11050862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11073424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.344605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11050862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.331678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33923 KachelY 33923 0.11073424 -0.11050862 6.344605 -6.331678
    Oben rechts KachelX + 1 33924 KachelY 33923 0.11083011 -0.11050862 6.350098 -6.331678
    Unten links KachelX 33923 KachelY + 1 33924 0.11073424 -0.11060391 6.344605 -6.337137
    Unten rechts KachelX + 1 33924 KachelY + 1 33924 0.11083011 -0.11060391 6.350098 -6.337137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11050862--0.11060391) × R
    9.52899999999979e-05 × 6371000     		dl = 607.092589999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11050862--0.11060391) × R
    9.52899999999979e-05 × 6371000     		dr = 607.092589999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11073424-0.11083011) × cos(-0.11050862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993900133954345 × 6371000     		do = 607.062046420662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11073424-0.11083011) × cos(-0.11060391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993889620495557 × 6371000     		du = 607.055624928614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11050862)-sin(-0.11060391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993900133954345-0.993889620495557)×R²
    abs(0.11083011-0.11073424)×1.05134587874423e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.05134587874423e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.05134587874423e-05×40589641000000     		ar = 368540.921110975m²