Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33916 / 32956
↖ ↑ ↗
← S  1.032659°
E  6.306152°		 ← 610.75 m → S  1.032659°
E  6.311646°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  1.038151°
E  6.306152°		 ← 610.75 m →
373 001 m²		 S  1.038151°
E  6.311646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517524719238281 y=0.502876281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517524719238281 × 216)
    floor (0.517524719238281 × 65536)
    floor (33916.5)     		tx = 33916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502876281738281 × 216)
    floor (0.502876281738281 × 65536)
    floor (32956.5)     		ty = 32956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33916 / 32956 ti = "16/33916/32956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33916/32956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33916 ÷ 216
    33916 ÷ 65536     		x = 0.51751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32956 ÷ 216
    32956 ÷ 65536     		y = 0.50286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51751708984375 × 2 - 1) × π
    0.0350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11006312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50286865234375 × 2 - 1) × π
    -0.0057373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0180242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11006312} λ = 0.11006312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0180242742571411))-π/2
    2×atan(0.982137191418209)-π/2
    2×0.776386514198117-π/2
    1.55277302839623-1.57079632675     		φ = -0.01802330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11006312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.306152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01802330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.032659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33916 KachelY 32956 0.11006312 -0.01802330 6.306152 -1.032659
    Oben rechts KachelX + 1 33917 KachelY 32956 0.11015900 -0.01802330 6.311646 -1.032659
    Unten links KachelX 33916 KachelY + 1 32957 0.11006312 -0.01811916 6.306152 -1.038151
    Unten rechts KachelX + 1 33917 KachelY + 1 32957 0.11015900 -0.01811916 6.311646 -1.038151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01802330--0.01811916) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01802330--0.01811916) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11006312-0.11015900) × cos(-0.01802330) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999837584725199 × 6371000     		do = 610.752268389055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11006312-0.11015900) × cos(-0.01811916) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999835852511377 × 6371000     		du = 610.751210263678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01802330)-sin(-0.01811916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999837584725199-0.999835852511377)×R²
    abs(0.11015900-0.11006312)×1.73221382226973e-06×R²
    9.58800000000065e-05×1.73221382226973e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.73221382226973e-06×40589641000000     		ar = 373000.782179085m²