Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33915 / 32981
↖ ↑ ↗
← S  1.169963°
E  6.300659°		 ← 610.66 m → S  1.169963°
E  6.306152°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.175454°
E  6.300659°		 ← 610.66 m →
372 906 m²		 S  1.175454°
E  6.306152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517509460449219 y=0.503257751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517509460449219 × 216)
    floor (0.517509460449219 × 65536)
    floor (33915.5)     		tx = 33915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503257751464844 × 216)
    floor (0.503257751464844 × 65536)
    floor (32981.5)     		ty = 32981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33915 / 32981 ti = "16/33915/32981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33915/32981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33915 ÷ 216
    33915 ÷ 65536     		x = 0.517501831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32981 ÷ 216
    32981 ÷ 65536     		y = 0.503250122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517501831054688 × 2 - 1) × π
    0.035003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10996725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503250122070312 × 2 - 1) × π
    -0.006500244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0204211192381439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10996725} λ = 0.10996725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0204211192381439))-π/2
    2×atan(0.979785979690932)-π/2
    2×0.775188313375919-π/2
    1.55037662675184-1.57079632675     		φ = -0.02041970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10996725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.300659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02041970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.169963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33915 KachelY 32981 0.10996725 -0.02041970 6.300659 -1.169963
    Oben rechts KachelX + 1 33916 KachelY 32981 0.11006312 -0.02041970 6.306152 -1.169963
    Unten links KachelX 33915 KachelY + 1 32982 0.10996725 -0.02051555 6.300659 -1.175454
    Unten rechts KachelX + 1 33916 KachelY + 1 32982 0.11006312 -0.02051555 6.306152 -1.175454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02041970--0.02051555) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02041970--0.02051555) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10996725-0.11006312) × cos(-0.02041970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999791525169983 × 6371000     		do = 610.66043612346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10996725-0.11006312) × cos(-0.02051555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999789563485101 × 6371000     		du = 610.659237950325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02041970)-sin(-0.02051555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999791525169983-0.999789563485101)×R²
    abs(0.11006312-0.10996725)×1.96168488275639e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.96168488275639e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96168488275639e-06×40589641000000     		ar = 372905.750101396m²