Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33913 / 33976
↖ ↑ ↗
← S  6.620957°
E  6.289673°		 ← 606.71 m → S  6.620957°
E  6.295166°		 →
↑
606.77 m
↓
↑
606.77 m
↓
S  6.626414°
E  6.289673°		 ← 606.71 m →
368 136 m²		 S  6.626414°
E  6.295166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517478942871094 y=0.518440246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517478942871094 × 216)
    floor (0.517478942871094 × 65536)
    floor (33913.5)     		tx = 33913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518440246582031 × 216)
    floor (0.518440246582031 × 65536)
    floor (33976.5)     		ty = 33976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33913 / 33976 ti = "16/33913/33976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33913/33976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33913 ÷ 216
    33913 ÷ 65536     		x = 0.517471313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33976 ÷ 216
    33976 ÷ 65536     		y = 0.5184326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517471313476562 × 2 - 1) × π
    0.034942626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10977550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.036865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.115815549482056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10977550} λ = 0.10977550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115815549482056))-π/2
    2×atan(0.890639487062429)-π/2
    2×0.727619411398567-π/2
    1.45523882279713-1.57079632675     		φ = -0.11555750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10977550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.289673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11555750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.620957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33913 KachelY 33976 0.10977550 -0.11555750 6.289673 -6.620957
    Oben rechts KachelX + 1 33914 KachelY 33976 0.10987137 -0.11555750 6.295166 -6.620957
    Unten links KachelX 33913 KachelY + 1 33977 0.10977550 -0.11565274 6.289673 -6.626414
    Unten rechts KachelX + 1 33914 KachelY + 1 33977 0.10987137 -0.11565274 6.295166 -6.626414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11555750--0.11565274) × R
    9.52400000000103e-05 × 6371000     		dl = 606.774040000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11555750--0.11565274) × R
    9.52400000000103e-05 × 6371000     		dr = 606.774040000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10977550-0.10987137) × cos(-0.11555750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9933306586621 × 6371000     		do = 606.714217876842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10977550-0.10987137) × cos(-0.11565274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993319672938547 × 6371000     		du = 606.707507931251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11555750)-sin(-0.11565274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9933306586621-0.993319672938547)×R²
    abs(0.10987137-0.10977550)×1.09857235536248e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.09857235536248e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.09857235536248e-05×40589641000000     		ar = 368136.401674452m²