Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33913 / 33975
↖ ↑ ↗
← S  6.615501°
E  6.289673°		 ← 606.72 m → S  6.615501°
E  6.295166°		 →
↑
606.71 m
↓
↑
606.71 m
↓
S  6.620957°
E  6.289673°		 ← 606.71 m →
368 102 m²		 S  6.620957°
E  6.295166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517478942871094 y=0.518424987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517478942871094 × 216)
    floor (0.517478942871094 × 65536)
    floor (33913.5)     		tx = 33913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518424987792969 × 216)
    floor (0.518424987792969 × 65536)
    floor (33975.5)     		ty = 33975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33913 / 33975 ti = "16/33913/33975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33913/33975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33913 ÷ 216
    33913 ÷ 65536     		x = 0.517471313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33975 ÷ 216
    33975 ÷ 65536     		y = 0.518417358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517471313476562 × 2 - 1) × π
    0.034942626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10977550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518417358398438 × 2 - 1) × π
    -0.036834716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.115719675682816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10977550} λ = 0.10977550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115719675682816))-π/2
    2×atan(0.890724880147221)-π/2
    2×0.727667028853735-π/2
    1.45533405770747-1.57079632675     		φ = -0.11546227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10977550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.289673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11546227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.615501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33913 KachelY 33975 0.10977550 -0.11546227 6.289673 -6.615501
    Oben rechts KachelX + 1 33914 KachelY 33975 0.10987137 -0.11546227 6.295166 -6.615501
    Unten links KachelX 33913 KachelY + 1 33976 0.10977550 -0.11555750 6.289673 -6.620957
    Unten rechts KachelX + 1 33914 KachelY + 1 33976 0.10987137 -0.11555750 6.295166 -6.620957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11546227--0.11555750) × R
    9.52299999999878e-05 × 6371000     		dl = 606.710329999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11546227--0.11555750) × R
    9.52299999999878e-05 × 6371000     		dr = 606.710329999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10977550-0.10987137) × cos(-0.11546227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993341634223433 × 6371000     		do = 606.720921615473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10977550-0.10987137) × cos(-0.11555750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9933306586621 × 6371000     		du = 606.714217876842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11546227)-sin(-0.11555750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993341634223433-0.9933306586621)×R²
    abs(0.10987137-0.10977550)×1.09755613323381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.09755613323381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.09755613323381e-05×40589641000000     		ar = 368101.817235625m²