Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33912 / 32983
↖ ↑ ↗
← S  1.180947°
E  6.284180°		 ← 610.66 m → S  1.180947°
E  6.289673°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.186439°
E  6.284180°		 ← 610.66 m →
372 904 m²		 S  1.186439°
E  6.289673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517463684082031 y=0.503288269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517463684082031 × 216)
    floor (0.517463684082031 × 65536)
    floor (33912.5)     		tx = 33912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503288269042969 × 216)
    floor (0.503288269042969 × 65536)
    floor (32983.5)     		ty = 32983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33912 / 32983 ti = "16/33912/32983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33912/32983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33912 ÷ 216
    33912 ÷ 65536     		x = 0.5174560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32983 ÷ 216
    32983 ÷ 65536     		y = 0.503280639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503280639648438 × 2 - 1) × π
    -0.006561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0206128668366241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10967963} λ = 0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0206128668366241))-π/2
    2×atan(0.979598126093116)-π/2
    2×0.775092459752181-π/2
    1.55018491950436-1.57079632675     		φ = -0.02061141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02061141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.180947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33912 KachelY 32983 0.10967963 -0.02061141 6.284180 -1.180947
    Oben rechts KachelX + 1 33913 KachelY 32983 0.10977550 -0.02061141 6.289673 -1.180947
    Unten links KachelX 33912 KachelY + 1 32984 0.10967963 -0.02070726 6.284180 -1.186439
    Unten rechts KachelX + 1 33913 KachelY + 1 32984 0.10977550 -0.02070726 6.289673 -1.186439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02061141--0.02070726) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02061141--0.02070726) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10967963-0.10977550) × cos(-0.02061141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999787592408829 × 6371000     		do = 610.658034041045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10967963-0.10977550) × cos(-0.02070726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999785612352428 × 6371000     		du = 610.656824646811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02061141)-sin(-0.02070726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999787592408829-0.999785612352428)×R²
    abs(0.10977550-0.10967963)×1.98005640128507e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.98005640128507e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98005640128507e-06×40589641000000     		ar = 372904.27981876m²