Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33912 / 32920
↖ ↑ ↗
← S  0.834931°
E  6.284180°		 ← 610.72 m → S  0.834931°
E  6.289673°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.840424°
E  6.284180°		 ← 610.72 m →
373 022 m²		 S  0.840424°
E  6.289673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517463684082031 y=0.502326965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517463684082031 × 216)
    floor (0.517463684082031 × 65536)
    floor (33912.5)     		tx = 33912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502326965332031 × 216)
    floor (0.502326965332031 × 65536)
    floor (32920.5)     		ty = 32920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33912 / 32920 ti = "16/33912/32920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33912/32920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33912 ÷ 216
    33912 ÷ 65536     		x = 0.5174560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32920 ÷ 216
    32920 ÷ 65536     		y = 0.5023193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.004638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0145728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10967963} λ = 0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0145728174844971))-π/2
    2×atan(0.985532852096302)-π/2
    2×0.778112012540314-π/2
    1.55622402508063-1.57079632675     		φ = -0.01457230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01457230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.834931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33912 KachelY 32920 0.10967963 -0.01457230 6.284180 -0.834931
    Oben rechts KachelX + 1 33913 KachelY 32920 0.10977550 -0.01457230 6.289673 -0.834931
    Unten links KachelX 33912 KachelY + 1 32921 0.10967963 -0.01466817 6.284180 -0.840424
    Unten rechts KachelX + 1 33913 KachelY + 1 32921 0.10977550 -0.01466817 6.289673 -0.840424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01457230--0.01466817) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01457230--0.01466817) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10967963-0.10977550) × cos(-0.01457230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999893825915231 × 6371000     		do = 610.722920167519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10967963-0.10977550) × cos(-0.01466817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999892424323235 × 6371000     		du = 610.722064092269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01457230)-sin(-0.01466817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999893825915231-0.999892424323235)×R²
    abs(0.10977550-0.10967963)×1.40159199568668e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.40159199568668e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40159199568668e-06×40589641000000     		ar = 373021.829342566m²