Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33911 / 33005
↖ ↑ ↗
← S  1.301768°
E  6.278686°		 ← 610.69 m → S  1.301768°
E  6.284180°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.307259°
E  6.278686°		 ← 610.69 m →
372 887 m²		 S  1.307259°
E  6.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517448425292969 y=0.503623962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517448425292969 × 216)
    floor (0.517448425292969 × 65536)
    floor (33911.5)     		tx = 33911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503623962402344 × 216)
    floor (0.503623962402344 × 65536)
    floor (33005.5)     		ty = 33005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33911 / 33005 ti = "16/33911/33005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33911/33005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33911 ÷ 216
    33911 ÷ 65536     		x = 0.517440795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33005 ÷ 216
    33005 ÷ 65536     		y = 0.503616333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517440795898438 × 2 - 1) × π
    0.034881591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10958375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503616333007812 × 2 - 1) × π
    -0.007232666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0227220904199066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10958375} λ = 0.10958375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0227220904199066))-π/2
    2×atan(0.977534112122096)-π/2
    2×0.774038095666761-π/2
    1.54807619133352-1.57079632675     		φ = -0.02272014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10958375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.278686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02272014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.301768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33911 KachelY 33005 0.10958375 -0.02272014 6.278686 -1.301768
    Oben rechts KachelX + 1 33912 KachelY 33005 0.10967963 -0.02272014 6.284180 -1.301768
    Unten links KachelX 33911 KachelY + 1 33006 0.10958375 -0.02281598 6.278686 -1.307259
    Unten rechts KachelX + 1 33912 KachelY + 1 33006 0.10967963 -0.02281598 6.284180 -1.307259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02272014--0.02281598) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02272014--0.02281598) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10958375-0.10967963) × cos(-0.02272014) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999741908721806 × 6371000     		do = 610.693824560781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10958375-0.10967963) × cos(-0.02281598) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999739726819458 × 6371000     		du = 610.692491742503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02272014)-sin(-0.02281598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999741908721806-0.999739726819458)×R²
    abs(0.10967963-0.10958375)×2.18190234746451e-06×R²
    9.58800000000065e-05×2.18190234746451e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×2.18190234746451e-06×40589641000000     		ar = 372887.1907238m²