Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33910 / 33006
↖ ↑ ↗
← S  1.307259°
E  6.273193°		 ← 610.63 m → S  1.307259°
E  6.278686°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.312751°
E  6.273193°		 ← 610.63 m →
372 886 m²		 S  1.312751°
E  6.278686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517433166503906 y=0.503639221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517433166503906 × 216)
    floor (0.517433166503906 × 65536)
    floor (33910.5)     		tx = 33910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503639221191406 × 216)
    floor (0.503639221191406 × 65536)
    floor (33006.5)     		ty = 33006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33910 / 33006 ti = "16/33910/33006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33910/33006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33910 ÷ 216
    33910 ÷ 65536     		x = 0.517425537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33006 ÷ 216
    33006 ÷ 65536     		y = 0.503631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517425537109375 × 2 - 1) × π
    0.03485107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10948788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.00726318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0228179642191467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10948788} λ = 0.10948788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0228179642191467))-π/2
    2×atan(0.977440396705378)-π/2
    2×0.773990171191497-π/2
    1.54798034238299-1.57079632675     		φ = -0.02281598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10948788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.273193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02281598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.307259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33910 KachelY 33006 0.10948788 -0.02281598 6.273193 -1.307259
    Oben rechts KachelX + 1 33911 KachelY 33006 0.10958375 -0.02281598 6.278686 -1.307259
    Unten links KachelX 33910 KachelY + 1 33007 0.10948788 -0.02291183 6.273193 -1.312751
    Unten rechts KachelX + 1 33911 KachelY + 1 33007 0.10958375 -0.02291183 6.278686 -1.312751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02281598--0.02291183) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02281598--0.02291183) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10948788-0.10958375) × cos(-0.02281598) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999739726819458 × 6371000     		do = 610.628798324453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10948788-0.10958375) × cos(-0.02291183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999737535505098 × 6371000     		du = 610.627459896441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02281598)-sin(-0.02291183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999739726819458-0.999737535505098)×R²
    abs(0.10958375-0.10948788)×2.19131436052233e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.19131436052233e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19131436052233e-06×40589641000000     		ar = 372886.387327919m²