Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33909 / 33003
↖ ↑ ↗
← S  1.290785°
E  6.267700°		 ← 610.70 m → S  1.290785°
E  6.273193°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.296276°
E  6.267700°		 ← 610.70 m →
372 928 m²		 S  1.296276°
E  6.273193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517417907714844 y=0.503593444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517417907714844 × 216)
    floor (0.517417907714844 × 65536)
    floor (33909.5)     		tx = 33909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503593444824219 × 216)
    floor (0.503593444824219 × 65536)
    floor (33003.5)     		ty = 33003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33909 / 33003 ti = "16/33909/33003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33909/33003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33909 ÷ 216
    33909 ÷ 65536     		x = 0.517410278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33003 ÷ 216
    33003 ÷ 65536     		y = 0.503585815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517410278320312 × 2 - 1) × π
    0.034820556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10939200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503585815429688 × 2 - 1) × π
    -0.007171630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0225303428214264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10939200} λ = 0.10939200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0225303428214264))-π/2
    2×atan(0.977721569912244)-π/2
    2×0.77413394493-π/2
    1.54826788986-1.57079632675     		φ = -0.02252844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10939200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.267700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02252844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.290785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33909 KachelY 33003 0.10939200 -0.02252844 6.267700 -1.290785
    Oben rechts KachelX + 1 33910 KachelY 33003 0.10948788 -0.02252844 6.273193 -1.290785
    Unten links KachelX 33909 KachelY + 1 33004 0.10939200 -0.02262429 6.267700 -1.296276
    Unten rechts KachelX + 1 33910 KachelY + 1 33004 0.10948788 -0.02262429 6.273193 -1.296276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02252844--0.02262429) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02252844--0.02262429) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10939200-0.10948788) × cos(-0.02252844) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999746245428207 × 6371000     		do = 610.696473644216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10939200-0.10948788) × cos(-0.02262429) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999744081667442 × 6371000     		du = 610.695151907751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02252844)-sin(-0.02262429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999746245428207-0.999744081667442)×R²
    abs(0.10948788-0.10939200)×2.16376076478397e-06×R²
    9.58799999999926e-05×2.16376076478397e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.16376076478397e-06×40589641000000     		ar = 372927.719058811m²