Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33908 / 33970
↖ ↑ ↗
← S  6.588217°
E  6.262207°		 ← 606.75 m → S  6.588217°
E  6.267700°		 →
↑
606.77 m
↓
↑
606.77 m
↓
S  6.593674°
E  6.262207°		 ← 606.75 m →
368 161 m²		 S  6.593674°
E  6.267700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517402648925781 y=0.518348693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517402648925781 × 216)
    floor (0.517402648925781 × 65536)
    floor (33908.5)     		tx = 33908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518348693847656 × 216)
    floor (0.518348693847656 × 65536)
    floor (33970.5)     		ty = 33970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33908 / 33970 ti = "16/33908/33970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33908/33970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33908 ÷ 216
    33908 ÷ 65536     		x = 0.51739501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33970 ÷ 216
    33970 ÷ 65536     		y = 0.518341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51739501953125 × 2 - 1) × π
    0.0347900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10929613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518341064453125 × 2 - 1) × π
    -0.03668212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.115240306686615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10929613} λ = 0.10929613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115240306686615))-π/2
    2×atan(0.891151968397163)-π/2
    2×0.72790512401028-π/2
    1.45581024802056-1.57079632675     		φ = -0.11498608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10929613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11498608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.588217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33908 KachelY 33970 0.10929613 -0.11498608 6.262207 -6.588217
    Oben rechts KachelX + 1 33909 KachelY 33970 0.10939200 -0.11498608 6.267700 -6.588217
    Unten links KachelX 33908 KachelY + 1 33971 0.10929613 -0.11508132 6.262207 -6.593674
    Unten rechts KachelX + 1 33909 KachelY + 1 33971 0.10939200 -0.11508132 6.267700 -6.593674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11498608--0.11508132) × R
    9.52399999999964e-05 × 6371000     		dl = 606.774039999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11498608--0.11508132) × R
    9.52399999999964e-05 × 6371000     		dr = 606.774039999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10929613-0.10939200) × cos(-0.11498608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993396381491875 × 6371000     		do = 606.754360577478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10929613-0.10939200) × cos(-0.11508132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993385449828895 × 6371000     		du = 606.747683651424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11498608)-sin(-0.11508132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993396381491875-0.993385449828895)×R²
    abs(0.10939200-0.10929613)×1.09316629801626e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.09316629801626e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.09316629801626e-05×40589641000000     		ar = 368160.769240834m²