Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33905 / 33967
↖ ↑ ↗
← S  6.571846°
E  6.245728°		 ← 606.77 m → S  6.571846°
E  6.251221°		 →
↑
606.84 m
↓
↑
606.84 m
↓
S  6.577303°
E  6.245728°		 ← 606.77 m →
368 212 m²		 S  6.577303°
E  6.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517356872558594 y=0.518302917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517356872558594 × 216)
    floor (0.517356872558594 × 65536)
    floor (33905.5)     		tx = 33905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518302917480469 × 216)
    floor (0.518302917480469 × 65536)
    floor (33967.5)     		ty = 33967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33905 / 33967 ti = "16/33905/33967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33905/33967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33905 ÷ 216
    33905 ÷ 65536     		x = 0.517349243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33967 ÷ 216
    33967 ÷ 65536     		y = 0.518295288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517349243164062 × 2 - 1) × π
    0.034698486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10900851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518295288085938 × 2 - 1) × π
    -0.036590576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.114952685288895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10900851} λ = 0.10900851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.114952685288895))-π/2
    2×atan(0.891408319636178)-π/2
    2×0.72804798739343-π/2
    1.45609597478686-1.57079632675     		φ = -0.11470035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10900851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.245728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11470035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.571846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33905 KachelY 33967 0.10900851 -0.11470035 6.245728 -6.571846
    Oben rechts KachelX + 1 33906 KachelY 33967 0.10910438 -0.11470035 6.251221 -6.571846
    Unten links KachelX 33905 KachelY + 1 33968 0.10900851 -0.11479560 6.245728 -6.577303
    Unten rechts KachelX + 1 33906 KachelY + 1 33968 0.10910438 -0.11479560 6.251221 -6.577303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11470035--0.11479560) × R
    9.52499999999912e-05 × 6371000     		dl = 606.837749999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11470035--0.11479560) × R
    9.52499999999912e-05 × 6371000     		dr = 606.837749999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10900851-0.10910438) × cos(-0.11470035) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993429123560359 × 6371000     		do = 606.774359032473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10900851-0.10910438) × cos(-0.11479560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993418217785461 × 6371000     		du = 606.767697918543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11470035)-sin(-0.11479560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993429123560359-0.993418217785461)×R²
    abs(0.10910438-0.10900851)×1.09057748979291e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.09057748979291e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.09057748979291e-05×40589641000000     		ar = 368211.565963603m²