Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33884 / 32923
↖ ↑ ↗
← S  0.851409°
E  6.130371°		 ← 610.72 m → S  0.851409°
E  6.135864°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.856902°
E  6.130371°		 ← 610.72 m →
373 020 m²		 S  0.856902°
E  6.135864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517036437988281 y=0.502372741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517036437988281 × 216)
    floor (0.517036437988281 × 65536)
    floor (33884.5)     		tx = 33884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502372741699219 × 216)
    floor (0.502372741699219 × 65536)
    floor (32923.5)     		ty = 32923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33884 / 32923 ti = "16/33884/32923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33884/32923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33884 ÷ 216
    33884 ÷ 65536     		x = 0.51702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32923 ÷ 216
    32923 ÷ 65536     		y = 0.502365112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51702880859375 × 2 - 1) × π
    0.0340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10699516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502365112304688 × 2 - 1) × π
    -0.004730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0148604388822174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10699516} λ = 0.10699516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0148604388822174))-π/2
    2×atan(0.985249432520604)-π/2
    2×0.777968217413743-π/2
    1.55593643482749-1.57079632675     		φ = -0.01485989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10699516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.130371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01485989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.851409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33884 KachelY 32923 0.10699516 -0.01485989 6.130371 -0.851409
    Oben rechts KachelX + 1 33885 KachelY 32923 0.10709103 -0.01485989 6.135864 -0.851409
    Unten links KachelX 33884 KachelY + 1 32924 0.10699516 -0.01495576 6.130371 -0.856902
    Unten rechts KachelX + 1 33885 KachelY + 1 32924 0.10709103 -0.01495576 6.135864 -0.856902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01485989--0.01495576) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01485989--0.01495576) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10699516-0.10709103) × cos(-0.01485989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99988959386624 × 6371000     		do = 610.720335283753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10699516-0.10709103) × cos(-0.01495576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999888164705996 × 6371000     		du = 610.719462370154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01485989)-sin(-0.01495576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99988959386624-0.999888164705996)×R²
    abs(0.10709103-0.10699516)×1.4291602440375e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.4291602440375e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4291602440375e-06×40589641000000     		ar = 373020.245384841m²