Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33880 / 32951
↖ ↑ ↗
← S  1.005198°
E  6.108398°		 ← 610.76 m → S  1.005198°
E  6.113892°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.010690°
E  6.108398°		 ← 610.76 m →
372 965 m²		 S  1.010690°
E  6.113892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516975402832031 y=0.502799987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516975402832031 × 216)
    floor (0.516975402832031 × 65536)
    floor (33880.5)     		tx = 33880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502799987792969 × 216)
    floor (0.502799987792969 × 65536)
    floor (32951.5)     		ty = 32951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33880 / 32951 ti = "16/33880/32951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33880/32951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33880 ÷ 216
    33880 ÷ 65536     		x = 0.5169677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32951 ÷ 216
    32951 ÷ 65536     		y = 0.502792358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5169677734375 × 2 - 1) × π
    0.033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10661166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502792358398438 × 2 - 1) × π
    -0.005584716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0175449052609406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10661166} λ = 0.10661166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0175449052609406))-π/2
    2×atan(0.982608110400752)-π/2
    2×0.776626160793818-π/2
    1.55325232158764-1.57079632675     		φ = -0.01754401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10661166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01754401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.005198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33880 KachelY 32951 0.10661166 -0.01754401 6.108398 -1.005198
    Oben rechts KachelX + 1 33881 KachelY 32951 0.10670754 -0.01754401 6.113892 -1.005198
    Unten links KachelX 33880 KachelY + 1 32952 0.10661166 -0.01763986 6.108398 -1.010690
    Unten rechts KachelX + 1 33881 KachelY + 1 32952 0.10670754 -0.01763986 6.113892 -1.010690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01754401--0.01763986) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dl = 610.66035000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01754401--0.01763986) × R
    9.58500000000015e-05 × 6371000     		dr = 610.66035000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10661166-0.10670754) × cos(-0.01754401) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999846107803857 × 6371000     		do = 610.757474724267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10661166-0.10670754) × cos(-0.01763986) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999844421703859 × 6371000     		du = 610.756444767588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01754401)-sin(-0.01763986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999846107803857-0.999844421703859)×R²
    abs(0.10670754-0.10661166)×1.68609999806613e-06×R²
    9.58800000000065e-05×1.68609999806613e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.68609999806613e-06×40589641000000     		ar = 372965.059088926m²