Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33879 / 32919
↖ ↑ ↗
← S  0.829439°
E  6.102905°		 ← 610.72 m → S  0.829439°
E  6.108398°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.834931°
E  6.102905°		 ← 610.72 m →
372 983 m²		 S  0.834931°
E  6.108398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516960144042969 y=0.502311706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516960144042969 × 216)
    floor (0.516960144042969 × 65536)
    floor (33879.5)     		tx = 33879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502311706542969 × 216)
    floor (0.502311706542969 × 65536)
    floor (32919.5)     		ty = 32919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33879 / 32919 ti = "16/33879/32919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33879/32919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33879 ÷ 216
    33879 ÷ 65536     		x = 0.516952514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32919 ÷ 216
    32919 ÷ 65536     		y = 0.502304077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516952514648438 × 2 - 1) × π
    0.033905029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10651579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502304077148438 × 2 - 1) × π
    -0.004608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.014476943685257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10651579} λ = 0.10651579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.014476943685257))-π/2
    2×atan(0.985627343404657)-π/2
    2×0.778159944383685-π/2
    1.55631988876737-1.57079632675     		φ = -0.01447644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10651579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.102905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01447644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.829439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33879 KachelY 32919 0.10651579 -0.01447644 6.102905 -0.829439
    Oben rechts KachelX + 1 33880 KachelY 32919 0.10661166 -0.01447644 6.108398 -0.829439
    Unten links KachelX 33879 KachelY + 1 32920 0.10651579 -0.01457230 6.102905 -0.834931
    Unten rechts KachelX + 1 33880 KachelY + 1 32920 0.10661166 -0.01457230 6.108398 -0.834931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01447644--0.01457230) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01447644--0.01457230) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10651579-0.10661166) × cos(-0.01447644) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999895218172386 × 6371000     		do = 610.723770541162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10651579-0.10661166) × cos(-0.01457230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999893825915231 × 6371000     		du = 610.722920167519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01447644)-sin(-0.01457230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999895218172386-0.999893825915231)×R²
    abs(0.10661166-0.10651579)×1.39225715534153e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.39225715534153e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39225715534153e-06×40589641000000     		ar = 372983.441297196m²