Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33877 / 34003
↖ ↑ ↗
← S  6.768262°
E  6.091919°		 ← 606.59 m → S  6.768262°
E  6.097412°		 →
↑
606.52 m
↓
↑
606.52 m
↓
S  6.773716°
E  6.091919°		 ← 606.59 m →
367 909 m²		 S  6.773716°
E  6.097412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516929626464844 y=0.518852233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516929626464844 × 216)
    floor (0.516929626464844 × 65536)
    floor (33877.5)     		tx = 33877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518852233886719 × 216)
    floor (0.518852233886719 × 65536)
    floor (34003.5)     		ty = 34003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33877 / 34003 ti = "16/33877/34003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33877/34003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33877 ÷ 216
    33877 ÷ 65536     		x = 0.516921997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34003 ÷ 216
    34003 ÷ 65536     		y = 0.518844604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516921997070312 × 2 - 1) × π
    0.033843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10632404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518844604492188 × 2 - 1) × π
    -0.037689208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.118404142061539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10632404} λ = 0.10632404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.118404142061539))-π/2
    2×atan(0.888336965725778)-π/2
    2×0.726333940473819-π/2
    1.45266788094764-1.57079632675     		φ = -0.11812845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10632404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.091919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11812845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.768262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33877 KachelY 34003 0.10632404 -0.11812845 6.091919 -6.768262
    Oben rechts KachelX + 1 33878 KachelY 34003 0.10641992 -0.11812845 6.097412 -6.768262
    Unten links KachelX 33877 KachelY + 1 34004 0.10632404 -0.11822365 6.091919 -6.773716
    Unten rechts KachelX + 1 33878 KachelY + 1 34004 0.10641992 -0.11822365 6.097412 -6.773716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11812845--0.11822365) × R
    9.52000000000036e-05 × 6371000     		dl = 606.519200000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11812845--0.11822365) × R
    9.52000000000036e-05 × 6371000     		dr = 606.519200000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10632404-0.10641992) × cos(-0.11812845) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.993030944350022 × 6371000     		do = 606.59442204205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10632404-0.10641992) × cos(-0.11822365) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.993019720158085 × 6371000     		du = 606.587565727794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11812845)-sin(-0.11822365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993030944350022-0.993019720158085)×R²
    abs(0.10641992-0.10632404)×1.12241919369982e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.12241919369982e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.12241919369982e-05×40589641000000     		ar = 367909.084616184m²