Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33877 / 33997
↖ ↑ ↗
← S  6.735531°
E  6.091919°		 ← 606.64 m → S  6.735531°
E  6.097412°		 →
↑
606.58 m
↓
↑
606.58 m
↓
S  6.740986°
E  6.091919°		 ← 606.63 m →
367 973 m²		 S  6.740986°
E  6.097412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516929626464844 y=0.518760681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516929626464844 × 216)
    floor (0.516929626464844 × 65536)
    floor (33877.5)     		tx = 33877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518760681152344 × 216)
    floor (0.518760681152344 × 65536)
    floor (33997.5)     		ty = 33997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33877 / 33997 ti = "16/33877/33997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33877/33997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33877 ÷ 216
    33877 ÷ 65536     		x = 0.516921997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33997 ÷ 216
    33997 ÷ 65536     		y = 0.518753051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516921997070312 × 2 - 1) × π
    0.033843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10632404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518753051757812 × 2 - 1) × π
    -0.037506103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.117828899266098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10632404} λ = 0.10632404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.117828899266098))-π/2
    2×atan(0.888848122170671)-π/2
    2×0.726619567088483-π/2
    1.45323913417697-1.57079632675     		φ = -0.11755719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10632404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.091919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11755719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.735531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33877 KachelY 33997 0.10632404 -0.11755719 6.091919 -6.735531
    Oben rechts KachelX + 1 33878 KachelY 33997 0.10641992 -0.11755719 6.097412 -6.735531
    Unten links KachelX 33877 KachelY + 1 33998 0.10632404 -0.11765240 6.091919 -6.740986
    Unten rechts KachelX + 1 33878 KachelY + 1 33998 0.10641992 -0.11765240 6.097412 -6.740986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11755719--0.11765240) × R
    9.52099999999984e-05 × 6371000     		dl = 606.58290999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11755719--0.11765240) × R
    9.52099999999984e-05 × 6371000     		dr = 606.58290999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10632404-0.10641992) × cos(-0.11755719) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.993098107537825 × 6371000     		do = 606.635448774721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10632404-0.10641992) × cos(-0.11765240) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.993086936178547 × 6371000     		du = 606.628624733372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11755719)-sin(-0.11765240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993098107537825-0.993086936178547)×R²
    abs(0.10641992-0.10632404)×1.11713592778617e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.11713592778617e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.11713592778617e-05×40589641000000     		ar = 367972.626431459m²