Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33876 / 33996
↖ ↑ ↗
← S  6.730076°
E  6.086426°		 ← 606.58 m → S  6.730076°
E  6.091919°		 →
↑
606.58 m
↓
↑
606.58 m
↓
S  6.735531°
E  6.086426°		 ← 606.57 m →
367 938 m²		 S  6.735531°
E  6.091919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516914367675781 y=0.518745422363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516914367675781 × 216)
    floor (0.516914367675781 × 65536)
    floor (33876.5)     		tx = 33876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518745422363281 × 216)
    floor (0.518745422363281 × 65536)
    floor (33996.5)     		ty = 33996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33876 / 33996 ti = "16/33876/33996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33876/33996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33876 ÷ 216
    33876 ÷ 65536     		x = 0.51690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33996 ÷ 216
    33996 ÷ 65536     		y = 0.51873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51690673828125 × 2 - 1) × π
    0.0338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10622817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51873779296875 × 2 - 1) × π
    -0.0374755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.117733025466858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10622817} λ = 0.10622817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.117733025466858))-π/2
    2×atan(0.888933343502272)-π/2
    2×0.726667173400349-π/2
    1.4533343468007-1.57079632675     		φ = -0.11746198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10622817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11746198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.730076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33876 KachelY 33996 0.10622817 -0.11746198 6.086426 -6.730076
    Oben rechts KachelX + 1 33877 KachelY 33996 0.10632404 -0.11746198 6.091919 -6.730076
    Unten links KachelX 33876 KachelY + 1 33997 0.10622817 -0.11755719 6.086426 -6.735531
    Unten rechts KachelX + 1 33877 KachelY + 1 33997 0.10632404 -0.11755719 6.091919 -6.735531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11746198--0.11755719) × R
    9.52100000000122e-05 × 6371000     		dl = 606.582910000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11746198--0.11755719) × R
    9.52100000000122e-05 × 6371000     		dr = 606.582910000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10622817-0.10632404) × cos(-0.11746198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993109269894725 × 6371000     		do = 606.578996325314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10622817-0.10632404) × cos(-0.11755719) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993098107537825 × 6371000     		du = 606.572178494235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11746198)-sin(-0.11755719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993109269894725-0.993098107537825)×R²
    abs(0.10632404-0.10622817)×1.11623568992414e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.11623568992414e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.11623568992414e-05×40589641000000     		ar = 367938.385223967m²