Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33870 / 33851
↖ ↑ ↗
← S  5.938436°
E  6.053467°		 ← 607.51 m → S  5.938436°
E  6.058960°		 →
↑
607.54 m
↓
↑
607.54 m
↓
S  5.943900°
E  6.053467°		 ← 607.50 m →
369 084 m²		 S  5.943900°
E  6.058960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516822814941406 y=0.516532897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516822814941406 × 216)
    floor (0.516822814941406 × 65536)
    floor (33870.5)     		tx = 33870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516532897949219 × 216)
    floor (0.516532897949219 × 65536)
    floor (33851.5)     		ty = 33851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33870 / 33851 ti = "16/33870/33851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33870/33851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33870 ÷ 216
    33870 ÷ 65536     		x = 0.516815185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33851 ÷ 216
    33851 ÷ 65536     		y = 0.516525268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516815185546875 × 2 - 1) × π
    0.03363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10565293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516525268554688 × 2 - 1) × π
    -0.033050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.103831324577042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10565293} λ = 0.10565293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.103831324577042))-π/2
    2×atan(0.901377324800709)-π/2
    2×0.733575533780742-π/2
    1.46715106756148-1.57079632675     		φ = -0.10364526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10565293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10364526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.938436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33870 KachelY 33851 0.10565293 -0.10364526 6.053467 -5.938436
    Oben rechts KachelX + 1 33871 KachelY 33851 0.10574880 -0.10364526 6.058960 -5.938436
    Unten links KachelX 33870 KachelY + 1 33852 0.10565293 -0.10374062 6.053467 -5.943900
    Unten rechts KachelX + 1 33871 KachelY + 1 33852 0.10574880 -0.10374062 6.058960 -5.943900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10364526--0.10374062) × R
    9.53600000000027e-05 × 6371000     		dl = 607.538560000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10364526--0.10374062) × R
    9.53600000000027e-05 × 6371000     		dr = 607.538560000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10565293-0.10574880) × cos(-0.10364526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.994633636562827 × 6371000     		do = 607.510060843186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10565293-0.10574880) × cos(-0.10374062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.994623766114501 × 6371000     		du = 607.504032094064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10364526)-sin(-0.10374062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994633636562827-0.994623766114501)×R²
    abs(0.10574880-0.10565293)×9.87044832612138e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.87044832612138e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.87044832612138e-06×40589641000000     		ar = 369083.956481123m²