Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33864 / 33853
↖ ↑ ↗
← S  5.949363°
E  6.020508°		 ← 607.56 m → S  5.949363°
E  6.026001°		 →
↑
607.47 m
↓
↑
607.47 m
↓
S  5.954827°
E  6.020508°		 ← 607.56 m →
369 076 m²		 S  5.954827°
E  6.026001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516731262207031 y=0.516563415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516731262207031 × 216)
    floor (0.516731262207031 × 65536)
    floor (33864.5)     		tx = 33864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516563415527344 × 216)
    floor (0.516563415527344 × 65536)
    floor (33853.5)     		ty = 33853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33864 / 33853 ti = "16/33864/33853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33864/33853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33864 ÷ 216
    33864 ÷ 65536     		x = 0.5167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33853 ÷ 216
    33853 ÷ 65536     		y = 0.516555786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5167236328125 × 2 - 1) × π
    0.033447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10507768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516555786132812 × 2 - 1) × π
    -0.033111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.104023072175522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10507768} λ = 0.10507768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104023072175522))-π/2
    2×atan(0.901204504432829)-π/2
    2×0.733480175421594-π/2
    1.46696035084319-1.57079632675     		φ = -0.10383598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10507768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10383598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.949363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33864 KachelY 33853 0.10507768 -0.10383598 6.020508 -5.949363
    Oben rechts KachelX + 1 33865 KachelY 33853 0.10517356 -0.10383598 6.026001 -5.949363
    Unten links KachelX 33864 KachelY + 1 33854 0.10507768 -0.10393133 6.020508 -5.954827
    Unten rechts KachelX + 1 33865 KachelY + 1 33854 0.10517356 -0.10393133 6.026001 -5.954827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10383598--0.10393133) × R
    9.53500000000079e-05 × 6371000     		dl = 607.474850000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10383598--0.10393133) × R
    9.53500000000079e-05 × 6371000     		dr = 607.474850000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10507768-0.10517356) × cos(-0.10383598) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.994613886621534 × 6371000     		do = 607.56136467127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10507768-0.10517356) × cos(-0.10393133) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99460399912146 × 6371000     		du = 607.555324877216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10383598)-sin(-0.10393133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994613886621534-0.99460399912146)×R²
    abs(0.10517356-0.10507768)×9.88750007424599e-06×R²
    9.58799999999926e-05×9.88750007424599e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×9.88750007424599e-06×40589641000000     		ar = 369076.414637625m²