Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33862 / 33849
↖ ↑ ↗
← S  5.927509°
E  6.009522°		 ← 607.52 m → S  5.927509°
E  6.015015°		 →
↑
607.54 m
↓
↑
607.54 m
↓
S  5.932972°
E  6.009522°		 ← 607.52 m →
369 091 m²		 S  5.932972°
E  6.015015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516700744628906 y=0.516502380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516700744628906 × 216)
    floor (0.516700744628906 × 65536)
    floor (33862.5)     		tx = 33862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516502380371094 × 216)
    floor (0.516502380371094 × 65536)
    floor (33849.5)     		ty = 33849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33862 / 33849 ti = "16/33862/33849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33862/33849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33862 ÷ 216
    33862 ÷ 65536     		x = 0.516693115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33849 ÷ 216
    33849 ÷ 65536     		y = 0.516494750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516693115234375 × 2 - 1) × π
    0.03338623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10488594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516494750976562 × 2 - 1) × π
    -0.032989501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.103639576978561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10488594} λ = 0.10488594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.103639576978561))-π/2
    2×atan(0.901550178309657)-π/2
    2×0.733670894031644-π/2
    1.46734178806329-1.57079632675     		φ = -0.10345454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10488594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.009522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10345454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.927509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33862 KachelY 33849 0.10488594 -0.10345454 6.009522 -5.927509
    Oben rechts KachelX + 1 33863 KachelY 33849 0.10498181 -0.10345454 6.015015 -5.927509
    Unten links KachelX 33862 KachelY + 1 33850 0.10488594 -0.10354990 6.009522 -5.932972
    Unten rechts KachelX + 1 33863 KachelY + 1 33850 0.10498181 -0.10354990 6.015015 -5.932972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10345454--0.10354990) × R
    9.53600000000027e-05 × 6371000     		dl = 607.538560000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10345454--0.10354990) × R
    9.53600000000027e-05 × 6371000     		dr = 607.538560000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10488594-0.10498181) × cos(-0.10345454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.994653350325198 × 6371000     		do = 607.522101768143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10488594-0.10498181) × cos(-0.10354990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.994643497966422 × 6371000     		du = 607.516084067897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10345454)-sin(-0.10354990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994653350325198-0.994643497966422)×R²
    abs(0.10498181-0.10488594)×9.85235877548618e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.85235877548618e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.85235877548618e-06×40589641000000     		ar = 369091.275163642m²