Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33861 / 33854
↖ ↑ ↗
← S  5.954827°
E  6.004028°		 ← 607.56 m → S  5.954827°
E  6.009522°		 →
↑
607.54 m
↓
↑
607.54 m
↓
S  5.960290°
E  6.004028°		 ← 607.55 m →
369 111 m²		 S  5.960290°
E  6.009522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516685485839844 y=0.516578674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516685485839844 × 216)
    floor (0.516685485839844 × 65536)
    floor (33861.5)     		tx = 33861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516578674316406 × 216)
    floor (0.516578674316406 × 65536)
    floor (33854.5)     		ty = 33854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33861 / 33854 ti = "16/33861/33854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33861/33854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33861 ÷ 216
    33861 ÷ 65536     		x = 0.516677856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33854 ÷ 216
    33854 ÷ 65536     		y = 0.516571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516677856445312 × 2 - 1) × π
    0.033355712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10479006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.03314208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.104118945974762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10479006} λ = 0.10479006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104118945974762))-π/2
    2×atan(0.901118106674803)-π/2
    2×0.7334324969525-π/2
    1.466864993905-1.57079632675     		φ = -0.10393133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10479006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.004028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10393133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.954827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33861 KachelY 33854 0.10479006 -0.10393133 6.004028 -5.954827
    Oben rechts KachelX + 1 33862 KachelY 33854 0.10488594 -0.10393133 6.009522 -5.954827
    Unten links KachelX 33861 KachelY + 1 33855 0.10479006 -0.10402669 6.004028 -5.960290
    Unten rechts KachelX + 1 33862 KachelY + 1 33855 0.10488594 -0.10402669 6.009522 -5.960290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10393133--0.10402669) × R
    9.53600000000027e-05 × 6371000     		dl = 607.538560000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10393133--0.10402669) × R
    9.53600000000027e-05 × 6371000     		dr = 607.538560000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10479006-0.10488594) × cos(-0.10393133) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99460399912146 × 6371000     		do = 607.555324877216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10479006-0.10488594) × cos(-0.10402669) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99459410154043 × 6371000     		du = 607.549278925195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10393133)-sin(-0.10402669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99460399912146-0.99459410154043)×R²
    abs(0.10488594-0.10479006)×9.89758102998284e-06×R²
    9.58799999999926e-05×9.89758102998284e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×9.89758102998284e-06×40589641000000     		ar = 369111.450901452m²