Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33841 / 32881
↖ ↑ ↗
← S  0.620716°
E  5.894165°		 ← 610.75 m → S  0.620716°
E  5.899658°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.626208°
E  5.894165°		 ← 610.75 m →
373 040 m²		 S  0.626208°
E  5.899658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516380310058594 y=0.501731872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516380310058594 × 216)
    floor (0.516380310058594 × 65536)
    floor (33841.5)     		tx = 33841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501731872558594 × 216)
    floor (0.501731872558594 × 65536)
    floor (32881.5)     		ty = 32881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33841 / 32881 ti = "16/33841/32881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33841/32881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33841 ÷ 216
    33841 ÷ 65536     		x = 0.516372680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32881 ÷ 216
    32881 ÷ 65536     		y = 0.501724243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516372680664062 × 2 - 1) × π
    0.032745361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10287259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501724243164062 × 2 - 1) × π
    -0.003448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0108337393141327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10287259} λ = 0.10287259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0108337393141327))-π/2
    2×atan(0.989224734286546)-π/2
    2×0.779981399700188-π/2
    1.55996279940038-1.57079632675     		φ = -0.01083353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10287259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.894165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01083353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.620716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33841 KachelY 32881 0.10287259 -0.01083353 5.894165 -0.620716
    Oben rechts KachelX + 1 33842 KachelY 32881 0.10296846 -0.01083353 5.899658 -0.620716
    Unten links KachelX 33841 KachelY + 1 32882 0.10287259 -0.01092940 5.894165 -0.626208
    Unten rechts KachelX + 1 33842 KachelY + 1 32882 0.10296846 -0.01092940 5.899658 -0.626208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01083353--0.01092940) × R
    9.58700000000014e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01083353--0.01092940) × R
    9.58700000000014e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10287259-0.10296846) × cos(-0.01083353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99994131788781 × 6371000     		do = 610.751927683543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10287259-0.10296846) × cos(-0.01092940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999940274702348 × 6371000     		du = 610.751290518621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01083353)-sin(-0.01092940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99994131788781-0.999940274702348)×R²
    abs(0.10296846-0.10287259)×1.04318546223503e-06×R²
    9.58699999999979e-05×1.04318546223503e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.04318546223503e-06×40589641000000     		ar = 373039.613632491m²