Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33838 / 33072
↖ ↑ ↗
← S  1.669686°
E  5.877686°		 ← 610.53 m → S  1.669686°
E  5.883179°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.675176°
E  5.877686°		 ← 610.53 m →
372 747 m²		 S  1.675176°
E  5.883179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516334533691406 y=0.504646301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516334533691406 × 216)
    floor (0.516334533691406 × 65536)
    floor (33838.5)     		tx = 33838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504646301269531 × 216)
    floor (0.504646301269531 × 65536)
    floor (33072.5)     		ty = 33072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33838 / 33072 ti = "16/33838/33072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33838/33072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33838 ÷ 216
    33838 ÷ 65536     		x = 0.516326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33072 ÷ 216
    33072 ÷ 65536     		y = 0.504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516326904296875 × 2 - 1) × π
    0.03265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10258497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504638671875 × 2 - 1) × π
    -0.00927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0291456349689941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10258497} λ = 0.10258497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0291456349689941))-π/2
    2×atan(0.971275002561072)-π/2
    2×0.770827408665351-π/2
    1.5416548173307-1.57079632675     		φ = -0.02914151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10258497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.877686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02914151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.669686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33838 KachelY 33072 0.10258497 -0.02914151 5.877686 -1.669686
    Oben rechts KachelX + 1 33839 KachelY 33072 0.10268084 -0.02914151 5.883179 -1.669686
    Unten links KachelX 33838 KachelY + 1 33073 0.10258497 -0.02923734 5.877686 -1.675176
    Unten rechts KachelX + 1 33839 KachelY + 1 33073 0.10268084 -0.02923734 5.883179 -1.675176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02914151--0.02923734) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dl = 610.53293000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02914151--0.02923734) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dr = 610.53293000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10258497-0.10268084) × cos(-0.02914151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99957541624609 × 6371000     		do = 610.528439435757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10258497-0.10268084) × cos(-0.02923734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999572619420692 × 6371000     		du = 610.52673116901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02914151)-sin(-0.02923734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99957541624609-0.999572619420692)×R²
    abs(0.10268084-0.10258497)×2.7968253974997e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.7968253974997e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.7968253974997e-06×40589641000000     		ar = 372747.195785754m²