Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33836 / 32876
↖ ↑ ↗
← S  0.593251°
E  5.866699°		 ← 610.76 m → S  0.593251°
E  5.872192°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.598744°
E  5.866699°		 ← 610.75 m →
373 003 m²		 S  0.598744°
E  5.872192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516304016113281 y=0.501655578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516304016113281 × 216)
    floor (0.516304016113281 × 65536)
    floor (33836.5)     		tx = 33836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501655578613281 × 216)
    floor (0.501655578613281 × 65536)
    floor (32876.5)     		ty = 32876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33836 / 32876 ti = "16/33836/32876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33836/32876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33836 ÷ 216
    33836 ÷ 65536     		x = 0.51629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32876 ÷ 216
    32876 ÷ 65536     		y = 0.50164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51629638671875 × 2 - 1) × π
    0.0325927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10239322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.0032958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0103543703179321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10239322} λ = 0.10239322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0103543703179321))-π/2
    2×atan(0.98969905163187)-π/2
    2×0.780221070746248-π/2
    1.5604421414925-1.57079632675     		φ = -0.01035419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10239322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.866699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01035419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.593251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33836 KachelY 32876 0.10239322 -0.01035419 5.866699 -0.593251
    Oben rechts KachelX + 1 33837 KachelY 32876 0.10248909 -0.01035419 5.872192 -0.593251
    Unten links KachelX 33836 KachelY + 1 32877 0.10239322 -0.01045005 5.866699 -0.598744
    Unten rechts KachelX + 1 33837 KachelY + 1 32877 0.10248909 -0.01045005 5.872192 -0.598744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01035419--0.01045005) × R
    9.58600000000014e-05 × 6371000     		dl = 610.724060000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01035419--0.01045005) × R
    9.58600000000014e-05 × 6371000     		dr = 610.724060000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10239322-0.10248909) × cos(-0.01035419) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.99994639585363 × 6371000     		do = 610.755029243051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10239322-0.10248909) × cos(-0.01045005) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.999945398724389 × 6371000     		du = 610.754420208706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01035419)-sin(-0.01045005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99994639585363-0.999945398724389)×R²
    abs(0.10248909-0.10239322)×9.9712924028772e-07×R²
    9.58700000000118e-05×9.9712924028772e-07×6371000²
    9.58700000000118e-05×9.9712924028772e-07×40589641000000     		ar = 373002.605434402m²