Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33833 / 32999
↖ ↑ ↗
← S  1.268817°
E  5.850220°		 ← 610.64 m → S  1.268817°
E  5.855713°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.274309°
E  5.850220°		 ← 610.64 m →
372 892 m²		 S  1.274309°
E  5.855713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516258239746094 y=0.503532409667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516258239746094 × 216)
    floor (0.516258239746094 × 65536)
    floor (33833.5)     		tx = 33833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503532409667969 × 216)
    floor (0.503532409667969 × 65536)
    floor (32999.5)     		ty = 32999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33833 / 32999 ti = "16/33833/32999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33833/32999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33833 ÷ 216
    33833 ÷ 65536     		x = 0.516250610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32999 ÷ 216
    32999 ÷ 65536     		y = 0.503524780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516250610351562 × 2 - 1) × π
    0.032501220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10210560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503524780273438 × 2 - 1) × π
    -0.007049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0221468476244659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10210560} λ = 0.10210560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0221468476244659))-π/2
    2×atan(0.978096593343516)-π/2
    2×0.774325644694995-π/2
    1.54865128938999-1.57079632675     		φ = -0.02214504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10210560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.850220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02214504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.268817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33833 KachelY 32999 0.10210560 -0.02214504 5.850220 -1.268817
    Oben rechts KachelX + 1 33834 KachelY 32999 0.10220147 -0.02214504 5.855713 -1.268817
    Unten links KachelX 33833 KachelY + 1 33000 0.10210560 -0.02224089 5.850220 -1.274309
    Unten rechts KachelX + 1 33834 KachelY + 1 33000 0.10220147 -0.02224089 5.855713 -1.274309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02214504--0.02224089) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02214504--0.02224089) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10210560-0.10220147) × cos(-0.02214504) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999754808622156 × 6371000     		do = 610.63801010509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10210560-0.10220147) × cos(-0.02224089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999752681601075 × 6371000     		du = 610.636710946627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02214504)-sin(-0.02224089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999754808622156-0.999752681601075)×R²
    abs(0.10220147-0.10210560)×2.12702108159935e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.12702108159935e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12702108159935e-06×40589641000000     		ar = 372892.02458727m²