Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33827 / 32996
↖ ↑ ↗
← S  1.252342°
E  5.817261°		 ← 610.71 m → S  1.252342°
E  5.822754°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
S  1.257834°
E  5.817261°		 ← 610.70 m →
372 933 m²		 S  1.257834°
E  5.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516166687011719 y=0.503486633300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516166687011719 × 216)
    floor (0.516166687011719 × 65536)
    floor (33827.5)     		tx = 33827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503486633300781 × 216)
    floor (0.503486633300781 × 65536)
    floor (32996.5)     		ty = 32996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33827 / 32996 ti = "16/33827/32996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33827/32996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33827 ÷ 216
    33827 ÷ 65536     		x = 0.516159057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32996 ÷ 216
    32996 ÷ 65536     		y = 0.50347900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516159057617188 × 2 - 1) × π
    0.032318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10153035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50347900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0069580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0218592262267456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10153035} λ = 0.10153035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0218592262267456))-π/2
    2×atan(0.978377955313721)-π/2
    2×0.774469420588583-π/2
    1.54893884117717-1.57079632675     		φ = -0.02185749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10153035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.817261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02185749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.252342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33827 KachelY 32996 0.10153035 -0.02185749 5.817261 -1.252342
    Oben rechts KachelX + 1 33828 KachelY 32996 0.10162623 -0.02185749 5.822754 -1.252342
    Unten links KachelX 33827 KachelY + 1 32997 0.10153035 -0.02195334 5.817261 -1.257834
    Unten rechts KachelX + 1 33828 KachelY + 1 32997 0.10162623 -0.02195334 5.822754 -1.257834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02185749--0.02195334) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02185749--0.02195334) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10153035-0.10162623) × cos(-0.02185749) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999761134575504 × 6371000     		do = 610.705568701879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10153035-0.10162623) × cos(-0.02195334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99975903510939 × 6371000     		du = 610.704286239896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02185749)-sin(-0.02195334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999761134575504-0.99975903510939)×R²
    abs(0.10162623-0.10153035)×2.09946611373635e-06×R²
    9.58799999999926e-05×2.09946611373635e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.09946611373635e-06×40589641000000     		ar = 372933.285041603m²