Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33823 / 32862
↖ ↑ ↗
← S  0.516351°
E  5.795288°		 ← 610.76 m → S  0.516351°
E  5.800781°		 →
↑
610.72 m
↓
↑
610.72 m
↓
S  0.521843°
E  5.795288°		 ← 610.76 m →
373 007 m²		 S  0.521843°
E  5.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516105651855469 y=0.501441955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516105651855469 × 216)
    floor (0.516105651855469 × 65536)
    floor (33823.5)     		tx = 33823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501441955566406 × 216)
    floor (0.501441955566406 × 65536)
    floor (32862.5)     		ty = 32862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33823 / 32862 ti = "16/33823/32862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33823/32862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33823 ÷ 216
    33823 ÷ 65536     		x = 0.516098022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32862 ÷ 216
    32862 ÷ 65536     		y = 0.501434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516098022460938 × 2 - 1) × π
    0.032196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10114686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.00286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00901213712857056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10114686} λ = 0.10114686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00901213712857056))-π/2
    2×atan(0.991028350461383)-π/2
    2×0.780892155828033-π/2
    1.56178431165607-1.57079632675     		φ = -0.00901202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10114686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.795288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00901202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.516351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33823 KachelY 32862 0.10114686 -0.00901202 5.795288 -0.516351
    Oben rechts KachelX + 1 33824 KachelY 32862 0.10124273 -0.00901202 5.800781 -0.516351
    Unten links KachelX 33823 KachelY + 1 32863 0.10114686 -0.00910788 5.795288 -0.521843
    Unten rechts KachelX + 1 33824 KachelY + 1 32863 0.10124273 -0.00910788 5.800781 -0.521843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00901202--0.00910788) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dl = 610.724059999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00901202--0.00910788) × R
    9.58599999999997e-05 × 6371000     		dr = 610.724059999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10114686-0.10124273) × cos(-0.00901202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999959392022597 × 6371000     		do = 610.762967144025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10114686-0.10124273) × cos(-0.00910788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999958523547672 × 6371000     		du = 610.762436690162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00901202)-sin(-0.00910788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999959392022597-0.999958523547672)×R²
    abs(0.10124273-0.10114686)×8.68474925419527e-07×R²
    9.58699999999979e-05×8.68474925419527e-07×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.68474925419527e-07×40589641000000     		ar = 373007.47729701m²