Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3376 / 3856
↖ ↑ ↗
← S 82.853382°
E116.718750°		 ← 1 215.85 m → S 82.853382°
E116.806641°		 →
↑
1 214.89 m
↓
↑
1 214.89 m
↓
S 82.864308°
E116.718750°		 ← 1 214 m →
1 475 991 m²		 S 82.864308°
E116.806641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8243408203125 y=0.9415283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8243408203125 × 212)
    floor (0.8243408203125 × 4096)
    floor (3376.5)     		tx = 3376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9415283203125 × 212)
    floor (0.9415283203125 × 4096)
    floor (3856.5)     		ty = 3856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3376 / 3856 ti = "12/3376/3856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3376/3856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3376 ÷ 212
    3376 ÷ 4096     		x = 0.82421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3856 ÷ 212
    3856 ÷ 4096     		y = 0.94140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82421875 × 2 - 1) × π
    0.6484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03712649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94140625 × 2 - 1) × π
    -0.8828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.77343726441797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03712649} λ = 2.03712649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77343726441797))-π/2
    2×atan(0.062446988608245)-π/2
    2×0.0623660046999839-π/2
    0.124732009399968-1.57079632675     		φ = -1.44606432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03712649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44606432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.853382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3376 KachelY 3856 2.03712649 -1.44606432 116.718750 -82.853382
    Oben rechts KachelX + 1 3377 KachelY 3856 2.03866047 -1.44606432 116.806641 -82.853382
    Unten links KachelX 3376 KachelY + 1 3857 2.03712649 -1.44625501 116.718750 -82.864308
    Unten rechts KachelX + 1 3377 KachelY + 1 3857 2.03866047 -1.44625501 116.806641 -82.864308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44606432--1.44625501) × R
    0.000190689999999938 × 6371000     		dl = 1214.8859899996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44606432--1.44625501) × R
    0.000190689999999938 × 6371000     		dr = 1214.8859899996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03712649-2.03866047) × cos(-1.44606432) × R
    0.00153398000000005 × 0.124408826678382 × 6371000     		do = 1215.84579356141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03712649-2.03866047) × cos(-1.44625501) × R
    0.00153398000000005 × 0.124219615879909 × 6371000     		du = 1213.99663896714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44606432)-sin(-1.44625501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124408826678382-0.124219615879909)×R²
    abs(2.03866047-2.03712649)×0.000189210798472519×R²
    0.00153398000000005×0.000189210798472519×6371000²
    0.00153398000000005×0.000189210798472519×40589641000000     		ar = 1475990.76906211m²