Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3375 / 3825
↖ ↑ ↗
← S 82.506295°
E116.630860°		 ← 1 274.57 m → S 82.506295°
E116.718750°		 →
↑
1 273.56 m
↓
↑
1 273.56 m
↓
S 82.517748°
E116.630860°		 ← 1 272.63 m →
1 622 007 m²		 S 82.517748°
E116.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8240966796875 y=0.9339599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8240966796875 × 212)
    floor (0.8240966796875 × 4096)
    floor (3375.5)     		tx = 3375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9339599609375 × 212)
    floor (0.9339599609375 × 4096)
    floor (3825.5)     		ty = 3825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3375 / 3825 ti = "12/3375/3825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3375/3825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3375 ÷ 212
    3375 ÷ 4096     		x = 0.823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3825 ÷ 212
    3825 ÷ 4096     		y = 0.933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823974609375 × 2 - 1) × π
    0.64794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03559251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.933837890625 × 2 - 1) × π
    -0.86767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.72588385999487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03559251} λ = 2.03559251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.72588385999487))-π/2
    2×atan(0.0654882946467097)-π/2
    2×0.0653949145691978-π/2
    0.130789829138396-1.57079632675     		φ = -1.44000650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03559251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.630860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44000650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.506295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3375 KachelY 3825 2.03559251 -1.44000650 116.630860 -82.506295
    Oben rechts KachelX + 1 3376 KachelY 3825 2.03712649 -1.44000650 116.718750 -82.506295
    Unten links KachelX 3375 KachelY + 1 3826 2.03559251 -1.44020640 116.630860 -82.517748
    Unten rechts KachelX + 1 3376 KachelY + 1 3826 2.03712649 -1.44020640 116.718750 -82.517748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44000650--1.44020640) × R
    0.000199900000000142 × 6371000     		dl = 1273.5629000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44000650--1.44020640) × R
    0.000199900000000142 × 6371000     		dr = 1273.5629000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03559251-2.03712649) × cos(-1.44000650) × R
    0.00153398000000005 × 0.130417264256127 × 6371000     		do = 1274.56617337548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03559251-2.03712649) × cos(-1.44020640) × R
    0.00153398000000005 × 0.130219068958444 × 6371000     		du = 1272.62921339101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44000650)-sin(-1.44020640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130417264256127-0.130219068958444)×R²
    abs(2.03712649-2.03559251)×0.00019819529768314×R²
    0.00153398000000005×0.00019819529768314×6371000²
    0.00153398000000005×0.00019819529768314×40589641000000     		ar = 1622006.77722033m²