Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33724 / 33948
↖ ↑ ↗
← S  6.468151°
E  5.251465°		 ← 606.96 m → S  6.468151°
E  5.256958°		 →
↑
606.90 m
↓
↑
606.90 m
↓
S  6.473609°
E  5.251465°		 ← 606.96 m →
368 365 m²		 S  6.473609°
E  5.256958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514595031738281 y=0.518013000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514595031738281 × 216)
    floor (0.514595031738281 × 65536)
    floor (33724.5)     		tx = 33724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518013000488281 × 216)
    floor (0.518013000488281 × 65536)
    floor (33948.5)     		ty = 33948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33724 / 33948 ti = "16/33724/33948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33724/33948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33724 ÷ 216
    33724 ÷ 65536     		x = 0.51458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33948 ÷ 216
    33948 ÷ 65536     		y = 0.51800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51458740234375 × 2 - 1) × π
    0.0291748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09165535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.0360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.113131083103333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09165535} λ = 0.09165535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113131083103333))-π/2
    2×atan(0.893033590828814)-π/2
    2×0.728952897555457-π/2
    1.45790579511091-1.57079632675     		φ = -0.11289053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09165535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.251465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11289053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.468151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33724 KachelY 33948 0.09165535 -0.11289053 5.251465 -6.468151
    Oben rechts KachelX + 1 33725 KachelY 33948 0.09175123 -0.11289053 5.256958 -6.468151
    Unten links KachelX 33724 KachelY + 1 33949 0.09165535 -0.11298579 5.251465 -6.473609
    Unten rechts KachelX + 1 33725 KachelY + 1 33949 0.09175123 -0.11298579 5.256958 -6.473609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11289053--0.11298579) × R
    9.52599999999998e-05 × 6371000     		dl = 606.901459999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11289053--0.11298579) × R
    9.52599999999998e-05 × 6371000     		dr = 606.901459999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09165535-0.09175123) × cos(-0.11289053) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.993634628596597 × 6371000     		do = 606.963183457523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09165535-0.09175123) × cos(-0.11298579) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.993623892963703 × 6371000     		du = 606.956625580281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11289053)-sin(-0.11298579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993634628596597-0.993623892963703)×R²
    abs(0.09175123-0.09165535)×1.07356328939989e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.07356328939989e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.07356328939989e-05×40589641000000     		ar = 368364.852492554m²