Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3372 / 3804
↖ ↑ ↗
← S 82.261699°
E116.367187°		 ← 1 315.92 m → S 82.261699°
E116.455078°		 →
↑
1 314.91 m
↓
↑
1 314.91 m
↓
S 82.273524°
E116.367187°		 ← 1 313.92 m →
1 729 002 m²		 S 82.273524°
E116.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8233642578125 y=0.9288330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8233642578125 × 212)
    floor (0.8233642578125 × 4096)
    floor (3372.5)     		tx = 3372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9288330078125 × 212)
    floor (0.9288330078125 × 4096)
    floor (3804.5)     		ty = 3804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3372 / 3804 ti = "12/3372/3804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3372/3804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3372 ÷ 212
    3372 ÷ 4096     		x = 0.8232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3804 ÷ 212
    3804 ÷ 4096     		y = 0.9287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8232421875 × 2 - 1) × π
    0.646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03099056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9287109375 × 2 - 1) × π
    -0.857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.6936702634502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03099056} λ = 2.03099056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6936702634502))-π/2
    2×atan(0.0676322550886032)-π/2
    2×0.0675294177819463-π/2
    0.135058835563893-1.57079632675     		φ = -1.43573749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03099056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.367187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43573749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.261699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3372 KachelY 3804 2.03099056 -1.43573749 116.367187 -82.261699
    Oben rechts KachelX + 1 3373 KachelY 3804 2.03252454 -1.43573749 116.455078 -82.261699
    Unten links KachelX 3372 KachelY + 1 3805 2.03099056 -1.43594388 116.367187 -82.273524
    Unten rechts KachelX + 1 3373 KachelY + 1 3805 2.03252454 -1.43594388 116.455078 -82.273524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43573749--1.43594388) × R
    0.000206390000000001 × 6371000     		dl = 1314.91069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43573749--1.43594388) × R
    0.000206390000000001 × 6371000     		dr = 1314.91069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03099056-2.03252454) × cos(-1.43573749) × R
    0.00153398000000005 × 0.134648612232741 × 6371000     		do = 1315.91908036624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03099056-2.03252454) × cos(-1.43594388) × R
    0.00153398000000005 × 0.134444098875372 × 6371000     		du = 1313.92037406924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43573749)-sin(-1.43594388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134648612232741-0.134444098875372)×R²
    abs(2.03252454-2.03099056)×0.00020451335736954×R²
    0.00153398000000005×0.00020451335736954×6371000²
    0.00153398000000005×0.00020451335736954×40589641000000     		ar = 1729002.01194323m²