Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33691 / 33951
↖ ↑ ↗
← S  6.484525°
E  5.070191°		 ← 606.88 m → S  6.484525°
E  5.075684°		 →
↑
606.90 m
↓
↑
606.90 m
↓
S  6.489983°
E  5.070191°		 ← 606.87 m →
368 314 m²		 S  6.489983°
E  5.075684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514091491699219 y=0.518058776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514091491699219 × 216)
    floor (0.514091491699219 × 65536)
    floor (33691.5)     		tx = 33691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518058776855469 × 216)
    floor (0.518058776855469 × 65536)
    floor (33951.5)     		ty = 33951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33691 / 33951 ti = "16/33691/33951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33691/33951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33691 ÷ 216
    33691 ÷ 65536     		x = 0.514083862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33951 ÷ 216
    33951 ÷ 65536     		y = 0.518051147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514083862304688 × 2 - 1) × π
    0.028167724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08849152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518051147460938 × 2 - 1) × π
    -0.036102294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.113418704501053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08849152} λ = 0.08849152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113418704501053))-π/2
    2×atan(0.892776772194247)-π/2
    2×0.728810004582016-π/2
    1.45762000916403-1.57079632675     		φ = -0.11317632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08849152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.070191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11317632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.484525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33691 KachelY 33951 0.08849152 -0.11317632 5.070191 -6.484525
    Oben rechts KachelX + 1 33692 KachelY 33951 0.08858739 -0.11317632 5.075684 -6.484525
    Unten links KachelX 33691 KachelY + 1 33952 0.08849152 -0.11327158 5.070191 -6.489983
    Unten rechts KachelX + 1 33692 KachelY + 1 33952 0.08858739 -0.11327158 5.075684 -6.489983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11317632--0.11327158) × R
    9.52599999999998e-05 × 6371000     		dl = 606.901459999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11317632--0.11327158) × R
    9.52599999999998e-05 × 6371000     		dr = 606.901459999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08849152-0.08858739) × cos(-0.11317632) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99360239351884 × 6371000     		do = 606.880190204022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08849152-0.08858739) × cos(-0.11327158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993591630835469 × 6371000     		du = 606.873616488646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11317632)-sin(-0.11327158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99360239351884-0.993591630835469)×R²
    abs(0.08858739-0.08849152)×1.07626833714125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.07626833714125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.07626833714125e-05×40589641000000     		ar = 368314.47895973m²