Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33688 / 33945
↖ ↑ ↗
← S  6.451776°
E  5.053711°		 ← 606.92 m → S  6.451776°
E  5.059204°		 →
↑
606.90 m
↓
↑
606.90 m
↓
S  6.457234°
E  5.053711°		 ← 606.91 m →
368 338 m²		 S  6.457234°
E  5.059204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514045715332031 y=0.517967224121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514045715332031 × 216)
    floor (0.514045715332031 × 65536)
    floor (33688.5)     		tx = 33688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517967224121094 × 216)
    floor (0.517967224121094 × 65536)
    floor (33945.5)     		ty = 33945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33688 / 33945 ti = "16/33688/33945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33688/33945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33688 ÷ 216
    33688 ÷ 65536     		x = 0.5140380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33945 ÷ 216
    33945 ÷ 65536     		y = 0.517959594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5140380859375 × 2 - 1) × π
    0.028076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08820390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517959594726562 × 2 - 1) × π
    -0.035919189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.112843461705612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08820390} λ = 0.08820390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.112843461705612))-π/2
    2×atan(0.89329048334054)-π/2
    2×0.729095795158821-π/2
    1.45819159031764-1.57079632675     		φ = -0.11260474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08820390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11260474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.451776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33688 KachelY 33945 0.08820390 -0.11260474 5.053711 -6.451776
    Oben rechts KachelX + 1 33689 KachelY 33945 0.08829977 -0.11260474 5.059204 -6.451776
    Unten links KachelX 33688 KachelY + 1 33946 0.08820390 -0.11270000 5.053711 -6.457234
    Unten rechts KachelX + 1 33689 KachelY + 1 33946 0.08829977 -0.11270000 5.059204 -6.457234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11260474--0.11270000) × R
    9.52599999999998e-05 × 6371000     		dl = 606.901459999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11260474--0.11270000) × R
    9.52599999999998e-05 × 6371000     		dr = 606.901459999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08820390-0.08829977) × cos(-0.11260474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993666782518328 × 6371000     		do = 606.919518217431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08820390-0.08829977) × cos(-0.11270000) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993656073936788 × 6371000     		du = 606.912977546793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11260474)-sin(-0.11270000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993666782518328-0.993656073936788)×R²
    abs(0.08829977-0.08820390)×1.07085815397312e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.07085815397312e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.07085815397312e-05×40589641000000     		ar = 368338.357215885m²