Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33667 / 33925
↖ ↑ ↗
← S  6.342597°
E  4.938355°		 ← 607.05 m → S  6.342597°
E  4.943848°		 →
↑
607.09 m
↓
↑
607.09 m
↓
S  6.348057°
E  4.938355°		 ← 607.04 m →
368 533 m²		 S  6.348057°
E  4.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513725280761719 y=0.517662048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513725280761719 × 216)
    floor (0.513725280761719 × 65536)
    floor (33667.5)     		tx = 33667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517662048339844 × 216)
    floor (0.517662048339844 × 65536)
    floor (33925.5)     		ty = 33925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33667 / 33925 ti = "16/33667/33925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33667/33925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33667 ÷ 216
    33667 ÷ 65536     		x = 0.513717651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33925 ÷ 216
    33925 ÷ 65536     		y = 0.517654418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513717651367188 × 2 - 1) × π
    0.027435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08619055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517654418945312 × 2 - 1) × π
    -0.035308837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.11092598572081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08619055} λ = 0.08619055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.11092598572081))-π/2
    2×atan(0.895004989626801)-π/2
    2×0.730048563317328-π/2
    1.46009712663466-1.57079632675     		φ = -0.11069920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08619055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.938355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11069920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.342597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33667 KachelY 33925 0.08619055 -0.11069920 4.938355 -6.342597
    Oben rechts KachelX + 1 33668 KachelY 33925 0.08628642 -0.11069920 4.943848 -6.342597
    Unten links KachelX 33667 KachelY + 1 33926 0.08619055 -0.11079449 4.938355 -6.348057
    Unten rechts KachelX + 1 33668 KachelY + 1 33926 0.08628642 -0.11079449 4.943848 -6.348057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11069920--0.11079449) × R
    9.52899999999979e-05 × 6371000     		dl = 607.092589999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11069920--0.11079449) × R
    9.52899999999979e-05 × 6371000     		dr = 607.092589999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08619055-0.08628642) × cos(-0.11069920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993879098012069 × 6371000     		do = 607.04919792439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08619055-0.08628642) × cos(-0.11079449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993868566503976 × 6371000     		du = 607.042765408047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11069920)-sin(-0.11079449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993879098012069-0.993868566503976)×R²
    abs(0.08628642-0.08619055)×1.053150809327e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.053150809327e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.053150809327e-05×40589641000000     		ar = 368533.117537729m²