Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33666 / 33914
↖ ↑ ↗
← S  6.282538°
E  4.932861°		 ← 607.18 m → S  6.282538°
E  4.938355°		 →
↑
607.16 m
↓
↑
607.16 m
↓
S  6.287999°
E  4.932861°		 ← 607.18 m →
368 653 m²		 S  6.287999°
E  4.938355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513710021972656 y=0.517494201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513710021972656 × 216)
    floor (0.513710021972656 × 65536)
    floor (33666.5)     		tx = 33666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517494201660156 × 216)
    floor (0.517494201660156 × 65536)
    floor (33914.5)     		ty = 33914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33666 / 33914 ti = "16/33666/33914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33666/33914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33666 ÷ 216
    33666 ÷ 65536     		x = 0.513702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33914 ÷ 216
    33914 ÷ 65536     		y = 0.517486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513702392578125 × 2 - 1) × π
    0.02740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08609467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517486572265625 × 2 - 1) × π
    -0.03497314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.109871373929169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08609467} λ = 0.08609467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109871373929169))-π/2
    2×atan(0.895949370332424)-π/2
    2×0.730572672059879-π/2
    1.46114534411976-1.57079632675     		φ = -0.10965098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08609467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.932861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10965098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.282538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33666 KachelY 33914 0.08609467 -0.10965098 4.932861 -6.282538
    Oben rechts KachelX + 1 33667 KachelY 33914 0.08619055 -0.10965098 4.938355 -6.282538
    Unten links KachelX 33666 KachelY + 1 33915 0.08609467 -0.10974628 4.932861 -6.287999
    Unten rechts KachelX + 1 33667 KachelY + 1 33915 0.08619055 -0.10974628 4.938355 -6.287999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10965098--0.10974628) × R
    9.53000000000065e-05 × 6371000     		dl = 607.156300000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10965098--0.10974628) × R
    9.53000000000065e-05 × 6371000     		dr = 607.156300000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08609467-0.08619055) × cos(-0.10965098) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.993994352239116 × 6371000     		do = 607.182921176947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08609467-0.08619055) × cos(-0.10974628) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.993983918914502 × 6371000     		du = 607.176547965165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10965098)-sin(-0.10974628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993994352239116-0.993983918914502)×R²
    abs(0.08619055-0.08609467)×1.04333246143673e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.04333246143673e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.04333246143673e-05×40589641000000     		ar = 368653.001356164m²