Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33659 / 33909
↖ ↑ ↗
← S  6.255237°
E  4.894409°		 ← 607.15 m → S  6.255237°
E  4.899902°		 →
↑
607.16 m
↓
↑
607.16 m
↓
S  6.260697°
E  4.894409°		 ← 607.15 m →
368 634 m²		 S  6.260697°
E  4.899902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513603210449219 y=0.517417907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513603210449219 × 216)
    floor (0.513603210449219 × 65536)
    floor (33659.5)     		tx = 33659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517417907714844 × 216)
    floor (0.517417907714844 × 65536)
    floor (33909.5)     		ty = 33909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33659 / 33909 ti = "16/33659/33909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33659/33909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33659 ÷ 216
    33659 ÷ 65536     		x = 0.513595581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33909 ÷ 216
    33909 ÷ 65536     		y = 0.517410278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513595581054688 × 2 - 1) × π
    0.027191162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08542356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517410278320312 × 2 - 1) × π
    -0.034820556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.109392004932968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08542356} λ = 0.08542356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109392004932968))-π/2
    2×atan(0.896378963641357)-π/2
    2×0.730810923337264-π/2
    1.46162184667453-1.57079632675     		φ = -0.10917448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08542356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.894409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10917448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.255237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33659 KachelY 33909 0.08542356 -0.10917448 4.894409 -6.255237
    Oben rechts KachelX + 1 33660 KachelY 33909 0.08551943 -0.10917448 4.899902 -6.255237
    Unten links KachelX 33659 KachelY + 1 33910 0.08542356 -0.10926978 4.894409 -6.260697
    Unten rechts KachelX + 1 33660 KachelY + 1 33910 0.08551943 -0.10926978 4.899902 -6.260697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10917448--0.10926978) × R
    9.52999999999926e-05 × 6371000     		dl = 607.156299999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10917448--0.10926978) × R
    9.52999999999926e-05 × 6371000     		dr = 607.156299999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08542356-0.08551943) × cos(-0.10917448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.994046383447104 × 6371000     		do = 607.151373822208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08542356-0.08551943) × cos(-0.10926978) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.994035995261166 × 6371000     		du = 607.145028845285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10917448)-sin(-0.10926978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994046383447104-0.994035995261166)×R²
    abs(0.08551943-0.08542356)×1.0388185937793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.0388185937793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.0388185937793e-05×40589641000000     		ar = 368633.855752407m²