Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33657 / 33918
↖ ↑ ↗
← S  6.304379°
E  4.883423°		 ← 607.09 m → S  6.304379°
E  4.888916°		 →
↑
607.09 m
↓
↑
607.09 m
↓
S  6.309839°
E  4.883423°		 ← 607.09 m →
368 560 m²		 S  6.309839°
E  4.888916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513572692871094 y=0.517555236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513572692871094 × 216)
    floor (0.513572692871094 × 65536)
    floor (33657.5)     		tx = 33657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517555236816406 × 216)
    floor (0.517555236816406 × 65536)
    floor (33918.5)     		ty = 33918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33657 / 33918 ti = "16/33657/33918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33657/33918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33657 ÷ 216
    33657 ÷ 65536     		x = 0.513565063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33918 ÷ 216
    33918 ÷ 65536     		y = 0.517547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513565063476562 × 2 - 1) × π
    0.027130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08523181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.03509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.110254869126129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08523181} λ = 0.08523181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.110254869126129))-π/2
    2×atan(0.895605843926755)-π/2
    2×0.730382080033866-π/2
    1.46076416006773-1.57079632675     		φ = -0.11003217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08523181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.883423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11003217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.304379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33657 KachelY 33918 0.08523181 -0.11003217 4.883423 -6.304379
    Oben rechts KachelX + 1 33658 KachelY 33918 0.08532768 -0.11003217 4.888916 -6.304379
    Unten links KachelX 33657 KachelY + 1 33919 0.08523181 -0.11012746 4.883423 -6.309839
    Unten rechts KachelX + 1 33658 KachelY + 1 33919 0.08532768 -0.11012746 4.888916 -6.309839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11003217--0.11012746) × R
    9.52899999999979e-05 × 6371000     		dl = 607.092589999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11003217--0.11012746) × R
    9.52899999999979e-05 × 6371000     		dr = 607.092589999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08523181-0.08532768) × cos(-0.11003217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993952565874432 × 6371000     		do = 607.094071196209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08523181-0.08532768) × cos(-0.11012746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993942097540579 × 6371000     		du = 607.087677265919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11003217)-sin(-0.11012746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993952565874432-0.993942097540579)×R²
    abs(0.08532768-0.08523181)×1.04683338534306e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.04683338534306e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.04683338534306e-05×40589641000000     		ar = 368560.371481143m²