Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33656 / 33916
↖ ↑ ↗
← S  6.293459°
E  4.877929°		 ← 607.17 m → S  6.293459°
E  4.883423°		 →
↑
607.09 m
↓
↑
607.09 m
↓
S  6.298919°
E  4.877929°		 ← 607.16 m →
368 607 m²		 S  6.298919°
E  4.883423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513557434082031 y=0.517524719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513557434082031 × 216)
    floor (0.513557434082031 × 65536)
    floor (33656.5)     		tx = 33656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517524719238281 × 216)
    floor (0.517524719238281 × 65536)
    floor (33916.5)     		ty = 33916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33656 / 33916 ti = "16/33656/33916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33656/33916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33656 ÷ 216
    33656 ÷ 65536     		x = 0.5135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33916 ÷ 216
    33916 ÷ 65536     		y = 0.51751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5135498046875 × 2 - 1) × π
    0.027099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08513593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.0350341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.110063121527649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08513593} λ = 0.08513593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.110063121527649))-π/2
    2×atan(0.895777590661999)-π/2
    2×0.730477375045334-π/2
    1.46095475009067-1.57079632675     		φ = -0.10984158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08513593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.877929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10984158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.293459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33656 KachelY 33916 0.08513593 -0.10984158 4.877929 -6.293459
    Oben rechts KachelX + 1 33657 KachelY 33916 0.08523181 -0.10984158 4.883423 -6.293459
    Unten links KachelX 33656 KachelY + 1 33917 0.08513593 -0.10993687 4.877929 -6.298919
    Unten rechts KachelX + 1 33657 KachelY + 1 33917 0.08523181 -0.10993687 4.883423 -6.298919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10984158--0.10993687) × R
    9.52900000000118e-05 × 6371000     		dl = 607.092590000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10984158--0.10993687) × R
    9.52900000000118e-05 × 6371000     		dr = 607.092590000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08513593-0.08523181) × cos(-0.10984158) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.993973476562436 × 6371000     		do = 607.170169238951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08513593-0.08523181) × cos(-0.10993687) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.993963026280169 × 6371000     		du = 607.163785668562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10984158)-sin(-0.10993687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993973476562436-0.993963026280169)×R²
    abs(0.08523181-0.08513593)×1.04502822668717e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.04502822668717e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.04502822668717e-05×40589641000000     		ar = 368606.573183839m²