Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3364 / 3813
↖ ↑ ↗
← S 82.367483°
E115.664063°		 ← 1 298.04 m → S 82.367483°
E115.751953°		 →
↑
1 297.07 m
↓
↑
1 297.07 m
↓
S 82.379148°
E115.664063°		 ← 1 296.07 m →
1 682 369 m²		 S 82.379148°
E115.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8214111328125 y=0.9310302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8214111328125 × 212)
    floor (0.8214111328125 × 4096)
    floor (3364.5)     		tx = 3364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9310302734375 × 212)
    floor (0.9310302734375 × 4096)
    floor (3813.5)     		ty = 3813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3364 / 3813 ti = "12/3364/3813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3364/3813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3364 ÷ 212
    3364 ÷ 4096     		x = 0.8212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3813 ÷ 212
    3813 ÷ 4096     		y = 0.930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8212890625 × 2 - 1) × π
    0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930908203125 × 2 - 1) × π
    -0.86181640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70747609054077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01871872} λ = 2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70747609054077))-π/2
    2×atan(0.0667049516929633)-π/2
    2×0.0666062793024776-π/2
    0.133212558604955-1.57079632675     		φ = -1.43758377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43758377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.367483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3364 KachelY 3813 2.01871872 -1.43758377 115.664063 -82.367483
    Oben rechts KachelX + 1 3365 KachelY 3813 2.02025270 -1.43758377 115.751953 -82.367483
    Unten links KachelX 3364 KachelY + 1 3814 2.01871872 -1.43778736 115.664063 -82.379148
    Unten rechts KachelX + 1 3365 KachelY + 1 3814 2.02025270 -1.43778736 115.751953 -82.379148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43758377--1.43778736) × R
    0.00020358999999992 × 6371000     		dl = 1297.07188999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43758377--1.43778736) × R
    0.00020358999999992 × 6371000     		dr = 1297.07188999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01871872-2.02025270) × cos(-1.43758377) × R
    0.00153398000000005 × 0.132818917094282 × 6371000     		do = 1298.03749433259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01871872-2.02025270) × cos(-1.43778736) × R
    0.00153398000000005 × 0.132617128085192 × 6371000     		du = 1296.06541305477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43758377)-sin(-1.43778736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132818917094282-0.132617128085192)×R²
    abs(2.02025270-2.01871872)×0.000201789009089792×R²
    0.00153398000000005×0.000201789009089792×6371000²
    0.00153398000000005×0.000201789009089792×40589641000000     		ar = 1682368.98628025m²