Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3364 / 3811
↖ ↑ ↗
← S 82.344100°
E115.664063°		 ← 1 301.99 m → S 82.344100°
E115.751953°		 →
↑
1 301.02 m
↓
↑
1 301.02 m
↓
S 82.355800°
E115.664063°		 ← 1 300.01 m →
1 692 631 m²		 S 82.355800°
E115.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8214111328125 y=0.9305419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8214111328125 × 212)
    floor (0.8214111328125 × 4096)
    floor (3364.5)     		tx = 3364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9305419921875 × 212)
    floor (0.9305419921875 × 4096)
    floor (3811.5)     		ty = 3811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3364 / 3811 ti = "12/3364/3811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3364/3811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3364 ÷ 212
    3364 ÷ 4096     		x = 0.8212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3811 ÷ 212
    3811 ÷ 4096     		y = 0.930419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8212890625 × 2 - 1) × π
    0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930419921875 × 2 - 1) × π
    -0.86083984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.70440812896509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01871872} λ = 2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70440812896509))-π/2
    2×atan(0.0669099141694007)-π/2
    2×0.066810331047711-π/2
    0.133620662095422-1.57079632675     		φ = -1.43717566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43717566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.344100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3364 KachelY 3811 2.01871872 -1.43717566 115.664063 -82.344100
    Oben rechts KachelX + 1 3365 KachelY 3811 2.02025270 -1.43717566 115.751953 -82.344100
    Unten links KachelX 3364 KachelY + 1 3812 2.01871872 -1.43737987 115.664063 -82.355800
    Unten rechts KachelX + 1 3365 KachelY + 1 3812 2.02025270 -1.43737987 115.751953 -82.355800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43717566--1.43737987) × R
    0.000204209999999927 × 6371000     		dl = 1301.02190999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43717566--1.43737987) × R
    0.000204209999999927 × 6371000     		dr = 1301.02190999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01871872-2.02025270) × cos(-1.43717566) × R
    0.00153398000000005 × 0.133223400298578 × 6371000     		do = 1301.99050326001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01871872-2.02025270) × cos(-1.43737987) × R
    0.00153398000000005 × 0.13302100784328 × 6371000     		du = 1300.01252451049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43717566)-sin(-1.43737987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133223400298578-0.13302100784328)×R²
    abs(2.02025270-2.01871872)×0.000202392455297878×R²
    0.00153398000000005×0.000202392455297878×6371000²
    0.00153398000000005×0.000202392455297878×40589641000000     		ar = 1692631.48038882m²