Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3362 / 3814
↖ ↑ ↗
← S 82.379148°
E115.488282°		 ← 1 296.07 m → S 82.379148°
E115.576172°		 →
↑
1 295.03 m
↓
↑
1 295.03 m
↓
S 82.390794°
E115.488282°		 ← 1 294.10 m →
1 677 173 m²		 S 82.390794°
E115.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8209228515625 y=0.9312744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8209228515625 × 212)
    floor (0.8209228515625 × 4096)
    floor (3362.5)     		tx = 3362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9312744140625 × 212)
    floor (0.9312744140625 × 4096)
    floor (3814.5)     		ty = 3814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3362 / 3814 ti = "12/3362/3814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3362/3814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3362 ÷ 212
    3362 ÷ 4096     		x = 0.82080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3814 ÷ 212
    3814 ÷ 4096     		y = 0.93115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82080078125 × 2 - 1) × π
    0.6416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01565076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93115234375 × 2 - 1) × π
    -0.8623046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.70901007132861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01565076} λ = 2.01565076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70901007132861))-π/2
    2×atan(0.0666027060201108)-π/2
    2×0.0665044858707405-π/2
    0.133008971741481-1.57079632675     		φ = -1.43778736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01565076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.488282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43778736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.379148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3362 KachelY 3814 2.01565076 -1.43778736 115.488282 -82.379148
    Oben rechts KachelX + 1 3363 KachelY 3814 2.01718474 -1.43778736 115.576172 -82.379148
    Unten links KachelX 3362 KachelY + 1 3815 2.01565076 -1.43799063 115.488282 -82.390794
    Unten rechts KachelX + 1 3363 KachelY + 1 3815 2.01718474 -1.43799063 115.576172 -82.390794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43778736--1.43799063) × R
    0.000203270000000089 × 6371000     		dl = 1295.03317000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43778736--1.43799063) × R
    0.000203270000000089 × 6371000     		dr = 1295.03317000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01565076-2.01718474) × cos(-1.43778736) × R
    0.0015339799999996 × 0.132617128085192 × 6371000     		do = 1296.06541305439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01565076-2.01718474) × cos(-1.43799063) × R
    0.0015339799999996 × 0.132415650761445 × 6371000     		du = 1294.09637787324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43778736)-sin(-1.43799063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132617128085192-0.132415650761445)×R²
    abs(2.01718474-2.01565076)×0.000201477323746896×R²
    0.0015339799999996×0.000201477323746896×6371000²
    0.0015339799999996×0.000201477323746896×40589641000000     		ar = 1677172.7232338m²