Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3361 / 3809
↖ ↑ ↗
← S 82.320646°
E115.400390°		 ← 1 305.96 m → S 82.320646°
E115.488282°		 →
↑
1 304.97 m
↓
↑
1 304.97 m
↓
S 82.332382°
E115.400390°		 ← 1 303.98 m →
1 702 952 m²		 S 82.332382°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8206787109375 y=0.9300537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8206787109375 × 212)
    floor (0.8206787109375 × 4096)
    floor (3361.5)     		tx = 3361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9300537109375 × 212)
    floor (0.9300537109375 × 4096)
    floor (3809.5)     		ty = 3809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3361 / 3809 ti = "12/3361/3809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3361/3809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3361 ÷ 212
    3361 ÷ 4096     		x = 0.820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3809 ÷ 212
    3809 ÷ 4096     		y = 0.929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820556640625 × 2 - 1) × π
    0.64111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01411677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929931640625 × 2 - 1) × π
    -0.85986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.7013401673894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01411677} λ = 2.01411677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7013401673894))-π/2
    2×atan(0.0671155064284207)-π/2
    2×0.0670150041797052-π/2
    0.13403000835941-1.57079632675     		φ = -1.43676632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01411677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.400390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43676632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.320646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3361 KachelY 3809 2.01411677 -1.43676632 115.400390 -82.320646
    Oben rechts KachelX + 1 3362 KachelY 3809 2.01565076 -1.43676632 115.488282 -82.320646
    Unten links KachelX 3361 KachelY + 1 3810 2.01411677 -1.43697115 115.400390 -82.332382
    Unten rechts KachelX + 1 3362 KachelY + 1 3810 2.01565076 -1.43697115 115.488282 -82.332382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43676632--1.43697115) × R
    0.000204829999999934 × 6371000     		dl = 1304.97192999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43676632--1.43697115) × R
    0.000204829999999934 × 6371000     		dr = 1304.97192999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01411677-2.01565076) × cos(-1.43676632) × R
    0.00153399000000043 × 0.133629080282757 × 6371000     		do = 1305.9637218102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01411677-2.01565076) × cos(-1.43697115) × R
    0.00153399000000043 × 0.133426084515866 × 6371000     		du = 1303.97983397172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43676632)-sin(-1.43697115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133629080282757-0.133426084515866)×R²
    abs(2.01565076-2.01411677)×0.00020299576689084×R²
    0.00153399000000043×0.00020299576689084×6371000²
    0.00153399000000043×0.00020299576689084×40589641000000     		ar = 1702951.54554625m²