Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33598 / 33858
↖ ↑ ↗
← S  5.976680°
E  4.559326°		 ← 607.53 m → S  5.976680°
E  4.564819°		 →
↑
607.47 m
↓
↑
607.47 m
↓
S  5.982143°
E  4.559326°		 ← 607.53 m →
369 058 m²		 S  5.982143°
E  4.564819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512672424316406 y=0.516639709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512672424316406 × 216)
    floor (0.512672424316406 × 65536)
    floor (33598.5)     		tx = 33598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516639709472656 × 216)
    floor (0.516639709472656 × 65536)
    floor (33858.5)     		ty = 33858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33598 / 33858 ti = "16/33598/33858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33598/33858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33598 ÷ 216
    33598 ÷ 65536     		x = 0.512664794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33858 ÷ 216
    33858 ÷ 65536     		y = 0.516632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512664794921875 × 2 - 1) × π
    0.02532958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07957525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.03326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.104502441171722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07957525} λ = 0.07957525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104502441171722))-π/2
    2×atan(0.900772598463603)-π/2
    2×0.73324178782266-π/2
    1.46648357564532-1.57079632675     		φ = -0.10431275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07957525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.559326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10431275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.976680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33598 KachelY 33858 0.07957525 -0.10431275 4.559326 -5.976680
    Oben rechts KachelX + 1 33599 KachelY 33858 0.07967113 -0.10431275 4.564819 -5.976680
    Unten links KachelX 33598 KachelY + 1 33859 0.07957525 -0.10440810 4.559326 -5.982143
    Unten rechts KachelX + 1 33599 KachelY + 1 33859 0.07967113 -0.10440810 4.564819 -5.982143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10431275--0.10440810) × R
    9.53500000000079e-05 × 6371000     		dl = 607.474850000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10431275--0.10440810) × R
    9.53500000000079e-05 × 6371000     		dr = 607.474850000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07957525-0.07967113) × cos(-0.10431275) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.994564356613949 × 6371000     		do = 607.53110919292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07957525-0.07967113) × cos(-0.10440810) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.994554423900058 × 6371000     		du = 607.525041779939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10431275)-sin(-0.10440810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994564356613949-0.994554423900058)×R²
    abs(0.07967113-0.07957525)×9.93271389060357e-06×R²
    9.58800000000065e-05×9.93271389060357e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×9.93271389060357e-06×40589641000000     		ar = 369058.026806537m²