Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3359 / 3815
↖ ↑ ↗
← S 82.390794°
E115.224609°		 ← 1 294.10 m → S 82.390794°
E115.312500°		 →
↑
1 293.12 m
↓
↑
1 293.12 m
↓
S 82.402423°
E115.224609°		 ← 1 292.13 m →
1 672 153 m²		 S 82.402423°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8201904296875 y=0.9315185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8201904296875 × 212)
    floor (0.8201904296875 × 4096)
    floor (3359.5)     		tx = 3359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9315185546875 × 212)
    floor (0.9315185546875 × 4096)
    floor (3815.5)     		ty = 3815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3359 / 3815 ti = "12/3359/3815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3359/3815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3359 ÷ 212
    3359 ÷ 4096     		x = 0.820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3815 ÷ 212
    3815 ÷ 4096     		y = 0.931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820068359375 × 2 - 1) × π
    0.64013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01104881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.86279296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.71054405211646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01104881} λ = 2.01104881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.71054405211646))-π/2
    2×atan(0.0665006170699205)-π/2
    2×0.066402847091359-π/2
    0.132805694182718-1.57079632675     		φ = -1.43799063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01104881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.224609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43799063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.390794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3359 KachelY 3815 2.01104881 -1.43799063 115.224609 -82.390794
    Oben rechts KachelX + 1 3360 KachelY 3815 2.01258279 -1.43799063 115.312500 -82.390794
    Unten links KachelX 3359 KachelY + 1 3816 2.01104881 -1.43819360 115.224609 -82.402423
    Unten rechts KachelX + 1 3360 KachelY + 1 3816 2.01258279 -1.43819360 115.312500 -82.402423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43799063--1.43819360) × R
    0.000202969999999913 × 6371000     		dl = 1293.12186999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43799063--1.43819360) × R
    0.000202969999999913 × 6371000     		dr = 1293.12186999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01104881-2.01258279) × cos(-1.43799063) × R
    0.00153398000000005 × 0.132415650761445 × 6371000     		do = 1294.09637787361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01104881-2.01258279) × cos(-1.43819360) × R
    0.00153398000000005 × 0.132214465332803 × 6371000     		du = 1292.1301953794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43799063)-sin(-1.43819360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132415650761445-0.132214465332803)×R²
    abs(2.01258279-2.01104881)×0.000201185428642364×R²
    0.00153398000000005×0.000201185428642364×6371000²
    0.00153398000000005×0.000201185428642364×40589641000000     		ar = 1672153.07706496m²