Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33558 / 32510
↖ ↑ ↗
← N  1.417092°
E  4.339600°		 ← 610.66 m → N  1.417092°
E  4.345093°		 →
↑
610.66 m
↓
↑
610.66 m
↓
N  1.411600°
E  4.339600°		 ← 610.67 m →
372 909 m²		 N  1.411600°
E  4.345093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512062072753906 y=0.496070861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512062072753906 × 216)
    floor (0.512062072753906 × 65536)
    floor (33558.5)     		tx = 33558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496070861816406 × 216)
    floor (0.496070861816406 × 65536)
    floor (32510.5)     		ty = 32510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33558 / 32510 ti = "16/33558/32510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33558/32510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33558 ÷ 216
    33558 ÷ 65536     		x = 0.512054443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32510 ÷ 216
    32510 ÷ 65536     		y = 0.496063232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512054443359375 × 2 - 1) × π
    0.02410888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07574030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496063232421875 × 2 - 1) × π
    0.00787353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.024735440203949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07574030} λ = 0.07574030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.024735440203949))-π/2
    2×atan(1.02504389924396)-π/2
    2×0.797764622510528-π/2
    1.59552924502106-1.57079632675     		φ = 0.02473292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07574030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.339600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02473292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.417092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33558 KachelY 32510 0.07574030 0.02473292 4.339600 1.417092
    Oben rechts KachelX + 1 33559 KachelY 32510 0.07583618 0.02473292 4.345093 1.417092
    Unten links KachelX 33558 KachelY + 1 32511 0.07574030 0.02463707 4.339600 1.411600
    Unten rechts KachelX + 1 33559 KachelY + 1 32511 0.07583618 0.02463707 4.345093 1.411600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02473292-0.02463707) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.660349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02473292-0.02463707) × R
    9.5849999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.660349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07574030-0.07583618) × cos(0.02473292) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999694156925406 × 6371000     		do = 610.664655305278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07574030-0.07583618) × cos(0.02463707) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.999696522741891 × 6371000     		du = 610.666100467779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02473292)-sin(0.02463707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999694156925406-0.999696522741891)×R²
    abs(0.07583618-0.07574030)×2.36581648482836e-06×R²
    9.58800000000065e-05×2.36581648482836e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×2.36581648482836e-06×40589641000000     		ar = 372909.133678566m²