Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3355 / 3821
↖ ↑ ↗
← S 82.460305°
E114.873047°		 ← 1 282.34 m → S 82.460305°
E114.960937°		 →
↑
1 281.34 m
↓
↑
1 281.34 m
↓
S 82.471829°
E114.873047°		 ← 1 280.39 m →
1 641 864 m²		 S 82.471829°
E114.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8192138671875 y=0.9329833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8192138671875 × 212)
    floor (0.8192138671875 × 4096)
    floor (3355.5)     		tx = 3355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9329833984375 × 212)
    floor (0.9329833984375 × 4096)
    floor (3821.5)     		ty = 3821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3355 / 3821 ti = "12/3355/3821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3355/3821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3355 ÷ 212
    3355 ÷ 4096     		x = 0.819091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3821 ÷ 212
    3821 ÷ 4096     		y = 0.932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819091796875 × 2 - 1) × π
    0.63818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00491289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.86572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.71974793684351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00491289} λ = 2.00491289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.71974793684351))-π/2
    2×atan(0.0658913611178166)-π/2
    2×0.0657962492143709-π/2
    0.131592498428742-1.57079632675     		φ = -1.43920383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00491289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43920383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.460305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3355 KachelY 3821 2.00491289 -1.43920383 114.873047 -82.460305
    Oben rechts KachelX + 1 3356 KachelY 3821 2.00644687 -1.43920383 114.960937 -82.460305
    Unten links KachelX 3355 KachelY + 1 3822 2.00491289 -1.43940495 114.873047 -82.471829
    Unten rechts KachelX + 1 3356 KachelY + 1 3822 2.00644687 -1.43940495 114.960937 -82.471829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43920383--1.43940495) × R
    0.000201119999999833 × 6371000     		dl = 1281.33551999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43920383--1.43940495) × R
    0.000201119999999833 × 6371000     		dr = 1281.33551999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00491289-2.00644687) × cos(-1.43920383) × R
    0.00153398000000005 × 0.131213036710907 × 6371000     		do = 1282.34324689678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00491289-2.00644687) × cos(-1.43940495) × R
    0.00153398000000005 × 0.131013652902914 × 6371000     		du = 1280.394671617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43920383)-sin(-1.43940495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131213036710907-0.131013652902914)×R²
    abs(2.00644687-2.00491289)×0.000199383807992781×R²
    0.00153398000000005×0.000199383807992781×6371000²
    0.00153398000000005×0.000199383807992781×40589641000000     		ar = 1641863.56725481m²