Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33547 / 21753
↖ ↑ ↗
← N 51.641885°
E  4.279175°		 ← 379.04 m → N 51.641885°
E  4.284668°		 →
↑
379.07 m
↓
↑
379.07 m
↓
N 51.638476°
E  4.279175°		 ← 379.07 m →
143 690 m²		 N 51.638476°
E  4.284668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511894226074219 y=0.331932067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511894226074219 × 216)
    floor (0.511894226074219 × 65536)
    floor (33547.5)     		tx = 33547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331932067871094 × 216)
    floor (0.331932067871094 × 65536)
    floor (21753.5)     		ty = 21753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33547 / 21753 ti = "16/33547/21753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33547/21753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33547 ÷ 216
    33547 ÷ 65536     		x = 0.511886596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21753 ÷ 216
    21753 ÷ 65536     		y = 0.331924438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511886596679688 × 2 - 1) × π
    0.023773193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07468569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331924438476562 × 2 - 1) × π
    0.336151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05604989862984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07468569} λ = 0.07468569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05604989862984))-π/2
    2×atan(2.87499202010508)-π/2
    2×1.2360586282394-π/2
    2.4721172564788-1.57079632675     		φ = 0.90132093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07468569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.279175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90132093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.641885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33547 KachelY 21753 0.07468569 0.90132093 4.279175 51.641885
    Oben rechts KachelX + 1 33548 KachelY 21753 0.07478156 0.90132093 4.284668 51.641885
    Unten links KachelX 33547 KachelY + 1 21754 0.07468569 0.90126143 4.279175 51.638476
    Unten rechts KachelX + 1 33548 KachelY + 1 21754 0.07478156 0.90126143 4.284668 51.638476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90132093-0.90126143) × R
    5.94999999999901e-05 × 6371000     		dl = 379.074499999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90132093-0.90126143) × R
    5.94999999999901e-05 × 6371000     		dr = 379.074499999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07468569-0.07478156) × cos(0.90132093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620574706246954 × 6371000     		do = 379.039440946974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07468569-0.07478156) × cos(0.90126143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620621361914522 × 6371000     		du = 379.067937658125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90132093)-sin(0.90126143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620574706246954-0.620621361914522)×R²
    abs(0.07478156-0.07468569)×4.66556675678964e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66556675678964e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66556675678964e-05×40589641000000     		ar = 143689.587787896m²